4. lecke - Revision history

Marcsa: /* Elektromos- és mágneses térerősség integrálegyenlet */

2020-04-01T16:01:02Z

‎Elektromos- és mágneses térerősség integrálegyenlet

Marcsa at 13:48, 1 April 2020

2020-04-01T13:48:57Z

Marcsa: /* Elektromos- és mágneses térerősség integrálegyenlet */

2020-04-01T13:43:33Z

‎Elektromos- és mágneses térerősség integrálegyenlet

Marcsa: /* Momentumok módszere (Method of Moments - MoM)CVEL - Electromagnetic Modeling (MoM) */

2020-04-01T11:36:40Z

‎Momentumok módszere (Method of Moments - MoM)CVEL - Electromagnetic Modeling (MoM)

Marcsa: /* Equation Options */

2020-04-01T09:14:23Z

‎Equation Options

Marcsa: /* Momentumok módszere (Method of Moments - MoM)CVEL - Electromagnetic Modeling (MoM) */

2020-03-31T15:28:50Z

‎Momentumok módszere (Method of Moments - MoM)CVEL - Electromagnetic Modeling (MoM)

Marcsa: /* Momentumok módszere (Method of Moments - MoM)CVEL - Electromagnetic Modeling (MoM) */

2020-03-31T09:26:50Z

‎Momentumok módszere (Method of Moments - MoM)CVEL - Electromagnetic Modeling (MoM)

Marcsa: /* Momentumok módszere (Method of Moments - MoM)CVEL - Electromagnetic Modeling (MoM) */

2020-03-31T08:42:59Z

‎Momentumok módszere (Method of Moments - MoM)CVEL - Electromagnetic Modeling (MoM)

Marcsa: /* Peremelem módszer (Boundary Element Method - BEM)CVEL - Electromagnetic Modeling (BEM) */

2020-03-31T08:42:17Z

‎Peremelem módszer (Boundary Element Method - BEM)CVEL - Electromagnetic Modeling (BEM)

Marcsa: /* Momentumok módszere (Method of Moments - MoM)CVEL - Electromagnetic Modeling (MoM) */

2020-03-31T08:42:05Z

‎Momentumok módszere (Method of Moments - MoM)CVEL - Electromagnetic Modeling (MoM)

@@ Line 130: / Line 130: @@
 ::<math>\vec{H}=f_m(\vec{J},\vec{M})</math>,
-ahol <math>\vec{H}</math> a beiktatott (azaz forrás) mágneses térerősség. Az Az örvényáramú feladatoknál, ahol a mágneses térerősség jelentősebb a közeltérnél a mágneses térerősség integrálegyenletet alkalmazzák a programok.
+ahol <math>\vec{H}</math> a beiktatott (azaz forrás) mágneses térerősség. Az örvényáramú feladatoknál, ahol a mágneses térerősség jelentősebb a közeltérnél a mágneses térerősség integrálegyenletet alkalmazzák a programok.
 A csak az EFIE vagy csak az MFIE megoldására épülő momentumok módszere instabillá válhat, amikor a vizsgált felület az adott frekvencián üregrezonátorként viselkedik. Ennek elkerüléséhez a momentumok módszer az EFIE és az MFIE egyenletek lineáris kombinációját, az úgynevezett ''kombinált térerősség integrálegyenletet'' (Combined Field Integral Equation - CFIE) oldja meg. Ennél nagyobb számítási kapacitásra van szükség a mátrix feltöltéséhez, de stabilabb megoldást eredményez, ha olyan felületet oldunk meg, ami kellően nagy, hogy belső rezonancia alakuljon ki.

@@ Line 73: / Line 73: @@
 <blockquote>
-Már 1960-ban, mások mellett R.F. Harrington is alkalmazott egy ''momentumok módszerének'' nevezett eljárást elektromágneses feladatok megoldására. A momentumok módszere egy eljárás ami a feladatotot lineáris egyenletrenszerré képezi le
+Már 1960-ban, mások mellett R.F. Harrington is alkalmazott egy ''momentumok módszerének'' nevezett eljárást elektromágneses feladatok megoldására. A momentumok módszere egy eljárás, ami a feladatot lineáris egyenletrendszerré képezi le
 ::<math>\mathcal{L}(\phi)=f</math>,
@@ Line 87: / Line 87: @@
 ::<math>\mathcal{L}(a_1v_1+a_2v_2+\dots+a_Nv_N)=f</math>.
-Ahhoz, hogy meghatározzuk <math>a_n</math> értékeit, <math>N</math> darab egymástól lineárisan független egyenletre van szüségünk; amihez <math>a_n</math> különböző súly- vagy tesztfüggvényeket, <math>w_n</math>-t alkalmazunk. Ennek következtében <math>N</math> egyenletből álló egyenletrendszerünk van az <math>N</math> ismeretlenhez:
+Ahhoz, hogy meghatározzuk <math>a_n</math> értékeit, <math>N</math> darab egymástól lineárisan független egyenletre van szükségünk; amihez <math>a_n</math> különböző súly- vagy tesztfüggvényeket, <math>w_n</math>-t alkalmazunk. Ennek következtében <math>N</math> egyenletből álló egyenletrendszerünk van az <math>N</math> ismeretlenhez:
 ::<math>
@@ Line 120: / Line 120: @@
 ==== Elektromos- és mágneses térerősség integrálegyenlet ====
-A momentumok módszerét használó programcsomagok legelterjedtebben az ''elektromos térerősség integrálegyenletetet'' (Electric Field Integral Equation - EFIE) oldják meg. Ennek az általános alakja
+A momentumok módszerét használó programcsomagok legelterjedtebben az ''elektromos térerősség integrálegyenletet'' (Electric Field Integral Equation - EFIE) oldják meg. Ennek az általános alakja
 ::<math>\vec{E}=f_e(\vec{J},\vec{M})</math>,
-ahol <math>\vec{E}</math> a beiktatott (azaz forrás) elektromos térerősség és a <math>\vec{J}</math> és a <math>\vec{M}</math> az indukált elektromos és mágneses áramsűrűség. Az EFIE-ről a peremelem módszernél is említést tettünk. Általában az elektromos térerősség integrálegyenletet használó programok kitűnőek a nyitott feladatok modellezésére, ha a forrás közelében (a közeltérében) az elektromos térerősség a jelentősebb.
+ahol <math>\vec{E}</math> a beiktatott (azaz forrás) elektromos térerősség és a <math>\vec{J}</math> és a <math>\vec{M}</math> az indukált elektromos és mágneses áramsűrűség. Az EFIE-ről a peremelem módszernél is említést tettünk. Általában az elektromos térerősség integrálegyenletet használó programok kitűnőek a nyitott feladatok modellezésére, ha a forrás közelében (a közelterében) az elektromos térerősség a jelentősebb.
 Egy másik egyenlet, amit a momentumok módszere segítségével megoldunk a ''mágneses térerősség integrálegyenlet'' (Magnetic Field Integral Equation - MFIE), aminek az általános alakja,
@@ Line 130: / Line 130: @@
 ::<math>\vec{H}=f_m(\vec{J},\vec{M})</math>,
-ahol <math>\vec{H}</math> a beiktatott (azaz forrás) mágneses térerősség.Az Az örvényáramú feladatoknál, ahol a mágneses térerősség jelentősebb a közeltérnél a mágneses térerősség integrálegyenletet alkalmazzák a programok.
+ahol <math>\vec{H}</math> a beiktatott (azaz forrás) mágneses térerősség. Az Az örvényáramú feladatoknál, ahol a mágneses térerősség jelentősebb a közeltérnél a mágneses térerősség integrálegyenletet alkalmazzák a programok.
-A csak az EFIE vagy csak az MFIE megoldására épülő momentumok módszere instabbilá válhat, amikor a vizsgált felület az adott frekvencián üregrezonátorként viselkedik. Ennek elkerüléséhez a momentumok módszer az EFIE és az MFIE egyenletek lineáris kombinációját, az úgynevezett ''kombinált térerősség integrálegyenletet'' (Combined Field Integral Equation - CFIE) oldja meg. Ennél nagyobb számítási kapacitásra van szükség a mátrix feltöltéséhez, de stabilabb megoldást eredményez, ha olyan felületet oldunk meg, ami kellően nagy, hogy belső rezonancia alakuljon ki.
+A csak az EFIE vagy csak az MFIE megoldására épülő momentumok módszere instabillá válhat, amikor a vizsgált felület az adott frekvencián üregrezonátorként viselkedik. Ennek elkerüléséhez a momentumok módszer az EFIE és az MFIE egyenletek lineáris kombinációját, az úgynevezett ''kombinált térerősség integrálegyenletet'' (Combined Field Integral Equation - CFIE) oldja meg. Ennél nagyobb számítási kapacitásra van szükség a mátrix feltöltéséhez, de stabilabb megoldást eredményez, ha olyan felületet oldunk meg, ami kellően nagy, hogy belső rezonancia alakuljon ki.
-Néhány elektromágneses szimulációs szoftver a momentumok módszerét más egyenletek megoldására használja. Például sztatikus feladatoknál használják a Laplace-egyenletként megfogalmazott problémák megoldására, ahol az elektromos térerősségből a töltéssűrűséget, vagy a mágneses térerősségből az áramsűrűséget számolják. Egy másik példa a ''Generalized Multipole Technique'' (GMT), ami a mómentumok módszerét használja a többpólusú forrásokkal létrehozott elektromos tér meghatározására.
+Néhány elektromágneses szimulációs szoftver a momentumok módszerét más egyenletek megoldására használja. Például sztatikus feladatoknál használják a Laplace-egyenletként megfogalmazott problémák megoldására, ahol az elektromos térerősségből a töltéssűrűséget, vagy a mágneses térerősségből az áramsűrűséget számolják. Egy másik példa a ''Generalized Multipole Technique'' (GMT), ami a momentumok módszerét használja a többpólusú forrásokkal létrehozott elektromos tér meghatározására.
 ==== Bázis- és súlyfüggvény ====
-A bázis- és a súlyfüggvény megfelelő választása óriási különbséget eredményezhet az elfogadható pontosságú megoldáshoz szükséges <math>N</math> elemek számában. Mivel a megoldást a bázisfüggvények összegzésével kapjuk, fontos olyan bázisfüggvényt választani, amelyek kis szám esetében is pontosan leírja a megoldást. Például, amikor a felületi árameloszlást számoljuk, a bázisfüggvényeknek olyan árameloszlást leíró elemeknek kell lenniük, amelyeket összegezve megfelelően közelítenik a feladatban fellépő lehetséges árameloszlásokat.
+A bázis- és a súlyfüggvény megfelelő választása óriási különbséget eredményezhet az elfogadható pontosságú megoldáshoz szükséges <math>N</math> elemek számában. Mivel a megoldást a bázisfüggvények összegzésével kapjuk, fontos olyan bázisfüggvényt választani, amelyek kis szám esetében is pontosan leírja a megoldást. Például, amikor a felületi árameloszlást számoljuk, a bázisfüggvényeknek olyan árameloszlást leíró elemeknek kell lenniük, amelyeket összegezve megfelelően közelítik a feladatban fellépő lehetséges árameloszlásokat.
 Súlyfüggvénynek olyan kell választani, ami maximalizálja az egyenlet különböző súlyozott formáinak lineáris függetlenségét. Gyakran a legjobb, ha a bázisfüggvénnyel azonos súlyfüggvényt választunk. A momentumok módszer technikáinál is, ha a bázisfüggvény és a súlyfüggvény azonosak azt Galjorkin-módszernek nevezzük.
@@ Line 145: / Line 145: @@
 == Hullámegyenlet<ref>[https://www.wiley.com/en-us/Microwave+Engineering%2C+4th+Edition-p-9780470631553 D. M. Pozar - Microwave Engineering, John Wiley & Sons. Inc., 2012.]</ref> ==
 <blockquote>
-Itt a közvetlenül elektromos és mágneses térből előálló frekvenciatratománybeli egyenletekkel foglalkozunk. Ezeket szintén a Maxwell-egyenletekből kapjuk, amelyek mind az elektromos, mind a mágneses teret tartalmazza, amíg a hullámegyenlet mindig csak az egyik mennyiséget tartalmazza.
+Itt a közvetlenül elektromos és mágneses térből előálló frekvenciatartománybeli egyenletekkel foglalkozunk. Ezeket szintén a Maxwell-egyenletekből kapjuk, amelyek mind az elektromos, mind a mágneses teret tartalmazza, amíg a hullámegyenlet mindig csak az egyik mennyiséget tartalmazza.
 === Hullámegyenlet ===

@@ Line 134: / Line 134: @@
 A csak az EFIE vagy csak az MFIE megoldására épülő momentumok módszere instabbilá válhat, amikor a vizsgált felület az adott frekvencián üregrezonátorként viselkedik. Ennek elkerüléséhez a momentumok módszer az EFIE és az MFIE egyenletek lineáris kombinációját, az úgynevezett ''kombinált térerősség integrálegyenletet'' (Combined Field Integral Equation - CFIE) oldja meg. Ennél nagyobb számítási kapacitásra van szükség a mátrix feltöltéséhez, de stabilabb megoldást eredményez, ha olyan felületet oldunk meg, ami kellően nagy, hogy belső rezonancia alakuljon ki.
-Some CEM modeling codes employ the Method of Moments to solve other equations. For example, static modeling codes often solve a form of Laplace's equation relating electric field strengths to charge densities or magnetic field strengths to current densities. The Generalized Multiple Technique (GMT), which is described in another section of this report, employs a moment method to solve equations for the electric field generated by multipole sources.
+Néhány elektromágneses szimulációs szoftver a momentumok módszerét más egyenletek megoldására használja. Például sztatikus feladatoknál használják a Laplace-egyenletként megfogalmazott problémák megoldására, ahol az elektromos térerősségből a töltéssűrűséget, vagy a mágneses térerősségből az áramsűrűséget számolják. Egy másik példa a ''Generalized Multipole Technique'' (GMT), ami a mómentumok módszerét használja a többpólusú forrásokkal létrehozott elektromos tér meghatározására.
 ==== Bázis- és súlyfüggvény ====

@@ Line 132: / Line 132: @@
 ahol <math>\vec{H}</math> a beiktatott (azaz forrás) mágneses térerősség.Az Az örvényáramú feladatoknál, ahol a mágneses térerősség jelentősebb a közeltérnél a mágneses térerősség integrálegyenletet alkalmazzák a programok.
-Moment Method codes based on the EFIE or MFIE alone, may exhibit unstable behavior when the modeling surfaces form a resonant cavity at a particular frequency. To avoid this, many moment method codes solve a linear combination of the EFIE and MFIE known as a ''Combined Field Integral Equation'' (CFIE). This requires more calculations to fill the matrix, but results in a more stable solution when the modeling surface is large enough to support an interior resonance.
+A csak az EFIE vagy csak az MFIE megoldására épülő momentumok módszere instabbilá válhat, amikor a vizsgált felület az adott frekvencián üregrezonátorként viselkedik. Ennek elkerüléséhez a momentumok módszer az EFIE és az MFIE egyenletek lineáris kombinációját, az úgynevezett ''kombinált térerősség integrálegyenletet'' (Combined Field Integral Equation - CFIE) oldja meg. Ennél nagyobb számítási kapacitásra van szükség a mátrix feltöltéséhez, de stabilabb megoldást eredményez, ha olyan felületet oldunk meg, ami kellően nagy, hogy belső rezonancia alakuljon ki.
 Some CEM modeling codes employ the Method of Moments to solve other equations. For example, static modeling codes often solve a form of Laplace's equation relating electric field strengths to charge densities or magnetic field strengths to current densities. The Generalized Multiple Technique (GMT), which is described in another section of this report, employs a moment method to solve equations for the electric field generated by multipole sources.

@@ Line 118: / Line 118: @@
 A momentumok módszere (MoM) az egyenletek széles skálájának megoldására alkalmazható, ideértve az integrál- és a differenciálegyenleteket. Ennek a numerikus technikának az elektromágneses modellezésen kívül sok egyéb alkalmazása van, azonban a MoM-ot széles körben a Maxwell-egyenletekből származó egyenletek megoldására használják. Általánosságban elmondható, hogy a MoM-ra épülő megoldók nagy, sűrű mátrix egyenleteket generálnak és oldanak meg, és a szükséges számítási erőforrások nagy részét ennek a mátrix egyenletnek a asszemblálására és megoldására fordítják. A megoldandó egyenletek alakja, valamint az bázis- és a súlyfüggvények megválasztása nagy befolyással bír ennek a mátrixnak a méretére, és végül a MoM megoldó alkalmasságára egy adott geometria modellezésénél.
-==== Equation Options ====
+==== Elektromos- és mágneses térerősség integrálegyenlet ====
-The most common equation form solved by CEM modeling codes based on the Method of Moments is the ''Electric Field Integral Equation'' (EFIE). This is an equation of the form,
+A momentumok módszerét használó programcsomagok legelterjedtebben az ''elektromos térerősség integrálegyenletetet'' (Electric Field Integral Equation - EFIE) oldják meg. Ennek az általános alakja
 ::<math>\vec{E}=f_e(\vec{J},\vec{M})</math>,
-where <math>\vec{E}</math> is the impressed (i.e. source) electric field and <math>\vec{J}</math> and <math>\vec{M}</math> are the induced electric and magnetic current densities, respectively. The EFIE will be discussed further in the section describing the Boundary Element Method. Generally, codes that solve a form of the EFIE excel at modeling open (unbounded) geometries in which the electric field dominates in the near-field region of the source.
+ahol <math>\vec{E}</math> a beiktatott (azaz forrás) elektromos térerősség és a <math>\vec{J}</math> és a <math>\vec{M}</math> az indukált elektromos és mágneses áramsűrűség. Az EFIE-ről a peremelem módszernél is említést tettünk. Általában az elektromos térerősség integrálegyenletet használó programok kitűnőek a nyitott feladatok modellezésére, ha a forrás közelében (a közeltérében) az elektromos térerősség a jelentősebb.
-Another equation solved by Moment Method codes is the ''Magnetic Field Integral Equation'' (MFIE), which has the general form,
+Egy másik egyenlet, amit a momentumok módszere segítségével megoldunk a ''mágneses térerősség integrálegyenlet'' (Magnetic Field Integral Equation - MFIE), aminek az általános alakja,
 ::<math>\vec{H}=f_m(\vec{J},\vec{M})</math>,
-where <math>\vec{H}</math> is the impressed (i.e. source) magnetic field intensity. Codes that solve a form of the MFIE are best suited for modeling geometries with circulating currents, where the magnetic near field is dominant.
+ahol <math>\vec{H}</math> a beiktatott (azaz forrás) mágneses térerősség.Az Az örvényáramú feladatoknál, ahol a mágneses térerősség jelentősebb a közeltérnél a mágneses térerősség integrálegyenletet alkalmazzák a programok.
 Moment Method codes based on the EFIE or MFIE alone, may exhibit unstable behavior when the modeling surfaces form a resonant cavity at a particular frequency. To avoid this, many moment method codes solve a linear combination of the EFIE and MFIE known as a ''Combined Field Integral Equation'' (CFIE). This requires more calculations to fill the matrix, but results in a more stable solution when the modeling surface is large enough to support an interior resonance.

@@ Line 116: / Line 116: @@
 ahol az <math>\textbf{A}</math> mátrix elemei ismert értékek, amelyeket a <math>\mathcal{L}(\bullet)</math> lineáris operátorból és a kiválasztott bázis- és súlyfüggvények segítségével számítható. A \textbf{b} elemeit az ismert gerjesztési függvényből és a súlyfüggvényből lehet meghatározni. A <math>\textbf{x}</math> vektor ismeretlen elemeit az egyenletrendszer megoldásával kapjuk. Az <math>\textbf{x}</math> mátrix elemeinek (azaz az ismeretlen együtthatók, <math>a_n</math>) meghatározása után, a <math>\phi</math> értékét a <math>\phi = \sum_{n=1}^{N}a_n v_n</math> egyenlet segítségével számítjuk.
-The Method of Moments (MoM) can be used to solve a wide range of equations involving linear operations including integral and differential equations. This numerical technique has many applications other than electromagnetic modeling; however the MoM is widely used to solve equations derived from Maxwell's equations. In general, moment method codes generate and solve large, dense matrix equations and most of the computational resources required are devoted to filling and solving this matrix equation. The particular form of the equations that is solved and the choice of basis and weighting functions have a great impact on the size of this matrix and ultimately the suitability of a given moment method code to model a given geometry.
+A momentumok módszere (MoM) az egyenletek széles skálájának megoldására alkalmazható, ideértve az integrál- és a differenciálegyenleteket. Ennek a numerikus technikának az elektromágneses modellezésen kívül sok egyéb alkalmazása van, azonban a MoM-ot széles körben a Maxwell-egyenletekből származó egyenletek megoldására használják. Általánosságban elmondható, hogy a MoM-ra épülő megoldók nagy, sűrű mátrix egyenleteket generálnak és oldanak meg, és a szükséges számítási erőforrások nagy részét ennek a mátrix egyenletnek a asszemblálására és megoldására fordítják. A megoldandó egyenletek alakja, valamint az bázis- és a súlyfüggvények megválasztása nagy befolyással bír ennek a mátrixnak a méretére, és végül a MoM megoldó alkalmasságára egy adott geometria modellezésénél.
 ==== Equation Options ====

@@ Line 114: / Line 114: @@
 ::<math>\textbf{A}\textbf{x}=\textbf{b}</math>,
-where the elements of <math>\textbf{A}</math> are known quantities that can be calculated from the linear operator, the functional <math>\mathcal{L}(\bullet)</math>, and the chosen basis and weighting functions. The elements of \textbf{b} are determined by applying the weighting functions to the known forcing function. The unknown elements of <math>\textbf{x}</math> can be found by solving the matrix equation. After solving for <math>\textbf{x}</math> (i.e. the unknown coefficients, <math>a_n</math>), the value of <math>\phi</math> is determined using <math>\phi = \sum_{n=1}^{N}a_n v_n</math> equation.
+ahol az <math>\textbf{A}</math> mátrix elemei ismert értékek, amelyeket a <math>\mathcal{L}(\bullet)</math> lineáris operátorból és a kiválasztott bázis- és súlyfüggvények segítségével számítható. A \textbf{b} elemeit az ismert gerjesztési függvényből és a súlyfüggvényből lehet meghatározni. A <math>\textbf{x}</math> vektor ismeretlen elemeit az egyenletrendszer megoldásával kapjuk. Az <math>\textbf{x}</math> mátrix elemeinek (azaz az ismeretlen együtthatók, <math>a_n</math>) meghatározása után, a <math>\phi</math> értékét a <math>\phi = \sum_{n=1}^{N}a_n v_n</math> egyenlet segítségével számítjuk.
 The Method of Moments (MoM) can be used to solve a wide range of equations involving linear operations including integral and differential equations. This numerical technique has many applications other than electromagnetic modeling; however the MoM is widely used to solve equations derived from Maxwell's equations. In general, moment method codes generate and solve large, dense matrix equations and most of the computational resources required are devoted to filling and solving this matrix equation. The particular form of the equations that is solved and the choice of basis and weighting functions have a great impact on the size of this matrix and ultimately the suitability of a given moment method code to model a given geometry.

@@ Line 35: / Line 35: @@
 Az alábbi egyenletek az EFIE és MFIE általános alakját mutatják, ahogy a peremelem módszert használó programok jellemzően alkalmazzák, amelyek csak fémes tárgyakat modelleznek (azaz nincs ekvivalens mágneses felületi áram);
-::<math>\vec{E}(\vec{r})=\frac{-j\eta}{4\pi k}\int_S\vec{J}_S(\vec{r}')\cdot\vec{G}_e(\vec{r},\vec{r}')\text{d}S'</math>
+::<math>\vec{E}(\vec{r})=\frac{-j\eta}{4\pi k}\int_S\vec{J}_S(\vec{r}')\cdot\vec{G}_e(\vec{r},\vec{r}')\text{d}S'</math>,
-::<math>\vec{H}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi}\int_S\vec{J}_S(\vec{r}')\times\nabla'\vec{G}_m(\vec{r},\vec{r}')\text{d}S'</math>
+::<math>\vec{H}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi}\int_S\vec{J}_S(\vec{r}')\times\nabla'\vec{G}_m(\vec{r},\vec{r}')\text{d}S'</math>.
 Ezekben az egyenletekben a <math>\int_S \text{d}S'</math> felületre vett integrál az összes határfelületre vett integrálást jelenti. Azt érdemes figyelembe venni, hogy perem csak olyan helyeken létezik, ahol két különböző anyag között határfelület van, tehát a perem mérete korlátozott (azaz nincs integrálás a végtelenbe).

@@ Line 75: / Line 75: @@
 Már 1960-ban, mások mellett R.F. Harrington is alkalmazott egy ''momentumok módszerének'' nevezett eljárást elektromágneses feladatok megoldására. A momentumok módszere egy eljárás ami a feladatotot lineáris egyenletrenszerré képezi le
-::<math>\mathcal{L}(\phi)=f</math>
+::<math>\mathcal{L}(\phi)=f</math>,
 ahol a <math>\mathcal{L}(\bullet)</math> funkcionál egy lineáris operátor, az <math>f</math> az ismert gerjesztés vagy kényszer függvénye és a <math>\phi</math> az ismeretlen mennyiség. Ahhoz, hogy számítógépen kezelhető feladatot kapjunk, a feladatot <math>N</math> részre (2D - vonal, 3D - felület) felbontjuk, majd az ismeretlen függvényt ugyanennyi súlyozott bázisfüggvény (<math>v_n</math>) összegeként kell közelíteni,
-::<math>\phi = \sum_{n=1}^{N}a_n v_n</math>
+::<math>\phi = \sum_{n=1}^{N}a_n v_n</math>,
 ahol <math>a_n</math> az ismeretlen együttható, ami a sorozat egyes tagjainak az amplitúdóját adja meg.
@@ Line 107: / Line 107: @@
 \vdots \\
 \langle w_N, f_N \rangle
-\end{bmatrix}
+\end{bmatrix}.
 </math>