Difference between revisions of "3. lecke"

From Maxwell
Jump to: navigation, search
(A mágneses vektorpotenciál és az elektromos skalárpotenciál)
 
(7 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 3: Line 3:
 
| colspan=2 align=center |
 
| colspan=2 align=center |
 
<font color='blue' size='+2'>Csatolt végeselem-módszer / Időfüggő mágneses tér</font>
 
<font color='blue' size='+2'>Csatolt végeselem-módszer / Időfüggő mágneses tér</font>
|- valign=top
+
|-
| width=50% |
+
| style="text-align: left; width: 36%;" |  
 
'''Oktató'''
 
'''Oktató'''
* Marcsa Dániel (óraadó)
+
* [http://wiki.maxwell.sze.hu/index.php/Marcsa Marcsa Dániel] (óraadó)
* Előadás: Kedd, 13:05 - 14:45 (D201), 14:50 - 15:35 (D105)
+
* Előadás: -
 
* Fogadóóra: egyeztetés alapján
 
* Fogadóóra: egyeztetés alapján
| width=50% |
+
| style="text-align: left; width: 36%;" |  
 
'''További oktatók:'''
 
'''További oktatók:'''
 
* -
 
* -
Line 15: Line 15:
 
|}
 
|}
  
== Catolt végeselem-módszer (FEM) ==
+
== Csatolt végeselem-módszer ==
 +
<blockquote>
 +
=== Merevtest mozgás figyelembevétele ===
 +
Az elektromechanikus rendszerekben (villamos gépek, aktuátorok, ...), az egyes részek merevtest mozgást végeznek a rájuk ható erő és/vagy nyomaték hatására. Az így bekövetkező mozgás a legtöbb esetben jelentősen visszahat a mágneses térre. Emellett, a mozgás és az időben változó mágneses tér hatására a vezető anyagokban (ahol <math>\sigma\neq 0</math>) örvényáram keletkezik. A mozgás következtében indukálódó áram (örvényáramok) a következő összefüggéssel számítható
 +
 
 +
::<math>\vec{J}_{M} = \sigma\vec{v}\times\vec{B}</math>,
 +
 
 +
ahol <math>\vec{v}</math> a mozgó test sebessége.
  
<blockquote>
+
=== Feszültséggel gerjesztett modell ===
 +
A legtöbb esetben a vizsgált rendszer feszültségkényszerrel működik és a tekercsben folyó áram ismeretlen. Ahhoz, hogy az ilyen feladatot megoldjuk, a Maxwell-egyenletekből származó parciális differenciálegyenletek mellett szükséges a tekercs feszültségegyenletét is megoldani. A tekercs feszültségegyenletét a következő alakban írhatjuk
 +
 
 +
::<math>u(t) = R i(t) + N\frac{\text{d}\Phi(t)}{\text{d}t}</math>,
 +
 
 +
ahol <math>u(t)</math> a tekercsre kapcsolt feszültség, <math>R</math> és <math>N</math> a tekercs ellenállása és a tekercs menetszáma, <math>\Phi(t)</math> a mágneses fluxus [Wb/m] amely kapcsolódik a tekerccsel.
 +
 
 +
Végül az erős csatolás esetében az egyenletrendszer
 +
 
 +
::<math>\begin{bmatrix}
 +
\mathbf{S}+\frac{\mathbf{N}}{\Delta t} & -\mathbf{P} \\
 +
\frac{\mathbf{Q}}{\Delta t} & \mathbf{R}
 +
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
\mathbf{A}(t)\\
 +
\mathbf{I}(t)
 +
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
 +
\frac{\mathbf{N}}{\Delta t} & \mathbf{0} \\
 +
\frac{\mathbf{Q}}{\Delta t} & \mathbf{0}
 +
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 +
\mathbf{A}(t-\Delta t)\\
 +
\mathbf{I}(t-\Delta t)
 +
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
 +
\mathbf{0}\\
 +
\mathbf{U}(t)
 +
\end{bmatrix}</math>
  
 +
ahol <math>\mathbf{A}</math> az ismeretlen mágneses vektorpotenciálokat, <math>\mathbf{I}</math> az ismeretlen tekercsáramokat és <math>\mathbf{U}</math> a tekercs kapcsainál ismert gerjesztőfeszültséget tartalmazó vektor. Az <math>\mathbf{S}</math> a <math>\mu</math> permeabilitással, <math>\mathbf{N}</math> a <math>\sigma</math> vezetőképességgel kapcsolatos mátrix. A <math>\mathbf{P}</math> a tekercselésben meginduló áramokhoz, míg <math>\mathbf{Q}</math> a tekercselés fluxuskapcsolódásához tartozó mátrix. Az <math>\mathbf{R}</math> mátrix egy diagonális mátrix, melynek a főátlóját a tekercsek ellenállásának egyenáramú összetevői alkotják.
  
 
</blockquote>
 
</blockquote>
  
== Időtartománybeli egyenletek és a kapcsolódó jelenségek áttekintése ==
+
== Időfüggő mágneses tér ==
 
<blockquote>
 
<blockquote>
 +
A legtöbbször a vizsgált elektromágneses berendezés (érzékelő, beavatkozó, motor, ...) kvázistacionárius feladatnak tekinthető. Kvázistacionárius esetben a <math>\partial \vec{D}/\partial t</math> eltolási áramsűrűséget elhanyagoljuk, és a Maxwell-egyenletek a következők lesznek
 +
 +
{| width=60%,
 +
|- valign=top
 +
| width=40%, style="text-align: right;" |
 +
<math>\nabla\times\vec{H}=\vec{J}</math>
 +
| width=20%, style="text-align: left;" |
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Ampere-féle gerjesztési törvény,
 +
|- valign=top, 
 +
| width=40%, style="text-align: right;" |
 +
<math>\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}</math>
 +
| width=20%, style="text-align: left;" |
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Faraday-féle indukció törvény,
 +
|- valign=top
 +
| width=40%, style="text-align: right;" |
 +
<math>\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r},t)=0</math>
 +
| width=20%, style="text-align: left;" |
 +
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Fluxusmegmaradás törvénye.
 +
|}
 +
 +
=== A mágneses vektorpotenciál és az elektromos skalárpotenciál ===
 +
A <math>\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r},t)=0</math> egyenlet értelmében a mágneses fluxussűrűség forrásmentes, tehát leírhatjuk egy vektor rotációjaként
 +
 +
::<math> \vec{B} = \nabla\times\vec{A}</math>,
 +
 +
ahol <math>\vec{A}</math> a mágneses vektorpotenciál [Wb/m]. Ezt az összefüggést behelyettesítve a Faraday-féle indukció törvénybe a következő összefüggést kapjuk
 +
 +
::<math>\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t} \left(\nabla\times\vec{A}\right)=-\nabla\times\left(\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right) \to \nabla\times\left(\vec{E}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right)=\vec{0}</math>,
 +
 +
mert a rotáció (térbeli deriválás) és az idő szerinti deriválás felcserélhetőek. A <math>\vec{E}+\partial\vec{A}/\partial t</math> forrásmentes vektortér leírható a <math>V</math> elektromos skalárpotenciállal (<math>\nabla\times\nabla\varphi\equiv0</math> teljesül minden skalár függvényre <math>\varphi=\varphi(\vec{r})</math> vagy <math>\varphi=\varphi(\vec{r},t)</math>),
 +
 +
::<math>\vec{E}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}=-\nabla V</math>,
 +
 +
és az <math>\vec{E}</math> elektromos térerősség a két bevezetett potenciállal leírható
 +
 +
::<math>\vec{E}=-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}-\nabla V</math>.
 +
 +
Helyettesítsük a <math>\vec{B}</math> és az <math>\vec{E}</math> összefüggését az Ampere-féle gerjesztési törvénybe, amellyel a következő parciális differenciálegyenletet kapjuk
  
 +
::<math>\nabla\times\left(\frac{1}{\mu}\nabla\times\vec{A}\right)=\vec{J}_{S}-\sigma\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}-\sigma\nabla V+\sigma\vec{v}\times\nabla\times\vec{A}</math>.
  
 +
Ha a sebesség a priori ismert, a jobb oldal negyedik tagja lineáris marad, de mint konvektív tag szerepel az egyenletben. Ezért a numerikus számításnál stabilitási okokból sűrű felbontást vagy adaptív hálózást kell alkalmazni.
 
</blockquote>
 
</blockquote>
  
== Irodalom ==
+
== Irodalomjegyzék ==
 
{{reflist}}
 
{{reflist}}

Latest revision as of 13:51, 13 November 2021

Csatolt végeselem-módszer / Időfüggő mágneses tér

Oktató

  • Marcsa Dániel (óraadó)
  • Előadás: -
  • Fogadóóra: egyeztetés alapján

További oktatók:

  • -
  • Fogadóóra: -.

Csatolt végeselem-módszer

Merevtest mozgás figyelembevétele

Az elektromechanikus rendszerekben (villamos gépek, aktuátorok, ...), az egyes részek merevtest mozgást végeznek a rájuk ható erő és/vagy nyomaték hatására. Az így bekövetkező mozgás a legtöbb esetben jelentősen visszahat a mágneses térre. Emellett, a mozgás és az időben változó mágneses tér hatására a vezető anyagokban (ahol σ0

) örvényáram keletkezik. A mozgás következtében indukálódó áram (örvényáramok) a következő összefüggéssel számítható

JM=σv×B
,

ahol v

a mozgó test sebessége.

Feszültséggel gerjesztett modell

A legtöbb esetben a vizsgált rendszer feszültségkényszerrel működik és a tekercsben folyó áram ismeretlen. Ahhoz, hogy az ilyen feladatot megoldjuk, a Maxwell-egyenletekből származó parciális differenciálegyenletek mellett szükséges a tekercs feszültségegyenletét is megoldani. A tekercs feszültségegyenletét a következő alakban írhatjuk

u(t)=Ri(t)+NdΦ(t)dt
,

ahol u(t)

a tekercsre kapcsolt feszültség, R
és N
a tekercs ellenállása és a tekercs menetszáma, Φ(t)
a mágneses fluxus [Wb/m] amely kapcsolódik a tekerccsel.

Végül az erős csatolás esetében az egyenletrendszer

[S+NΔtPQΔtR][A(t)I(t)]=[NΔt0QΔt0][A(tΔt)I(tΔt)]+[0U(t)]

ahol A

az ismeretlen mágneses vektorpotenciálokat, I
az ismeretlen tekercsáramokat és U
a tekercs kapcsainál ismert gerjesztőfeszültséget tartalmazó vektor. Az S
a μ
permeabilitással, N
a σ
vezetőképességgel kapcsolatos mátrix. A P
a tekercselésben meginduló áramokhoz, míg Q
a tekercselés fluxuskapcsolódásához tartozó mátrix. Az R
mátrix egy diagonális mátrix, melynek a főátlóját a tekercsek ellenállásának egyenáramú összetevői alkotják.

Időfüggő mágneses tér

A legtöbbször a vizsgált elektromágneses berendezés (érzékelő, beavatkozó, motor, ...) kvázistacionárius feladatnak tekinthető. Kvázistacionárius esetben a D/t

eltolási áramsűrűséget elhanyagoljuk, és a Maxwell-egyenletek a következők lesznek

×H=J

          Ampere-féle gerjesztési törvény,

×E=Bt

          Faraday-féle indukció törvény,

B(r,t)=0

          Fluxusmegmaradás törvénye.

A mágneses vektorpotenciál és az elektromos skalárpotenciál

A B(r,t)=0

egyenlet értelmében a mágneses fluxussűrűség forrásmentes, tehát leírhatjuk egy vektor rotációjaként

B=×A
,

ahol A

a mágneses vektorpotenciál [Wb/m]. Ezt az összefüggést behelyettesítve a Faraday-féle indukció törvénybe a következő összefüggést kapjuk

×E=t(×A)=×(At)×(E+At)=0
,

mert a rotáció (térbeli deriválás) és az idő szerinti deriválás felcserélhetőek. A E+A/t

forrásmentes vektortér leírható a V
elektromos skalárpotenciállal (×φ0
teljesül minden skalár függvényre φ=φ(r)
vagy φ=φ(r,t)
),

E+At=V
,

és az E

elektromos térerősség a két bevezetett potenciállal leírható

E=AtV
.

Helyettesítsük a B

és az E
összefüggését az Ampere-féle gerjesztési törvénybe, amellyel a következő parciális differenciálegyenletet kapjuk

×(1μ×A)=JSσAtσV+σv××A
.

Ha a sebesség a priori ismert, a jobb oldal negyedik tagja lineáris marad, de mint konvektív tag szerepel az egyenletben. Ezért a numerikus számításnál stabilitási okokból sűrű felbontást vagy adaptív hálózást kell alkalmazni.

Irodalomjegyzék