Difference between revisions of "1. lecke"
(→Sztatikus mágneses tér) |
|||
(25 intermediate revisions by the same user not shown) | |||
Line 1: | Line 1: | ||
{| width=100% | {| width=100% | ||
− | |- | + | |- |
− | | width | + | | colspan=2 align=center | |
− | ''' | + | <font color='blue' size='+2'>Elektromágneses terek alapjai / Sztatikus mágneses és elektrosztatikus tér</font> |
− | * Marcsa Dániel (óraadó) | + | |- |
− | * | + | | style="text-align: left; width: 36%;" | |
− | * | + | '''Oktató''' |
− | | width | + | * [http://wiki.maxwell.sze.hu/index.php/Marcsa Marcsa Dániel] (óraadó) |
− | ''' | + | * Előadás: - |
+ | * Fogadóóra: egyeztetés alapján | ||
+ | | style="text-align: left; width: 36%;" | | ||
+ | '''További oktatók:''' | ||
* - | * - | ||
− | * | + | * Fogadóóra: -. |
|} | |} | ||
== Elektromágneses terek alapjai == | == Elektromágneses terek alapjai == | ||
<blockquote> | <blockquote> | ||
− | Az elektromágneses térelmélet adja az alapját több látszólag eltérő fizikai jelenségeknek. Ilyen jelenségek a hullámterjedés, a reflexió (visszaverődés), a fénytörés, a | + | Az elektromágneses térelmélet adja az alapját több látszólag eltérő fizikai jelenségeknek. Ilyen jelenségek a hullámterjedés, a reflexió (visszaverődés), a fénytörés, a diffrakció és a szóródás. A következőkben áttekintjük az elektromágneses terek alapjait. |
</blockquote> | </blockquote> | ||
=== [https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations Maxwell-egyenletek] === | === [https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations Maxwell-egyenletek] === | ||
Line 21: | Line 24: | ||
==== Differenciális alak ==== | ==== Differenciális alak ==== | ||
[[File:James Clerk Maxwell.png|250px|thumb|alt=James Clerk Maxwell (1831–1879).|James Clerk Maxwell (1831–1879).]] | [[File:James Clerk Maxwell.png|250px|thumb|alt=James Clerk Maxwell (1831–1879).|James Clerk Maxwell (1831–1879).]] | ||
− | {| width= | + | {| width=70%, |
|- valign=top | |- valign=top | ||
− | | width= | + | | width=30%, style="text-align: left;" | |
− | <math>\nabla\times\vec{H}(\vec{r},t)=\vec{J}(\vec{r},t)+\frac{\partial D(\vec{r},t)}{\partial t}</math> | + | ::<math>\nabla\times\vec{H}(\vec{r},t)=\vec{J}(\vec{r},t)+\frac{\partial D(\vec{r},t)}{\partial t}</math> |
− | | width= | + | | width=40%, style="text-align: left;" | |
− | Ampere | + | Ampere-féle gerjesztési törvény, |
|- valign=top, | |- valign=top, | ||
− | | width= | + | | width=30%, style="text-align: left;" | |
− | <math>\nabla\times\vec{E}(\vec{r},t)=-\frac{\partial \vec{B}(\vec{r},t)}{\partial t}</math> | + | ::<math>\nabla\times\vec{E}(\vec{r},t)=-\frac{\partial \vec{B}(\vec{r},t)}{\partial t}</math> |
− | | width= | + | | width=40%, style="text-align: left;" | |
− | Faraday | + | Faraday-féle indukció törvény, |
|- valign=top | |- valign=top | ||
− | | width= | + | | width=30%, style="text-align: left;" | |
− | <math>\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r},t)=0</math> | + | ::<math>\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r},t)=0</math> |
− | | width= | + | | width=40%, style="text-align: left;" | |
− | | + | Fluxusmegmaradás törvénye, |
|- valign=top | |- valign=top | ||
− | | width= | + | | width=30%, style="text-align: left;" | |
− | <math>\nabla\cdot\vec{D}(\vec{r},t)=\rho(\vec{r},t)</math> | + | ::<math>\nabla\cdot\vec{D}(\vec{r},t)=\rho(\vec{r},t)</math> |
− | | width= | + | | width=40%, style="text-align: left;" | |
− | Gauss | + | Gauss-törvény, |
|} | |} | ||
Line 58: | Line 61: | ||
::<math>\rho(\vec{r},t)</math> a térfogati töltséssűrűség [C/m<math>^3</math>]. | ::<math>\rho(\vec{r},t)</math> a térfogati töltséssűrűség [C/m<math>^3</math>]. | ||
− | A | + | A térváltozók függenek a tértől <math>\vec{r}</math> és az időtől <math>t</math>, azonban a rövidebb jelölés érdekében ezt a továbbiakban nem írjuk ki. |
A <math>\vec{J}</math> áramsűrűség és a <math>\rho</math> töltéssűrűség közötti összefüggést, az úgynevezett töltésmegmaradási tételt az első Maxwell-egyenlet (Ampere-törvény) jobb és bal oldalának divergenciájából kapjuk | A <math>\vec{J}</math> áramsűrűség és a <math>\rho</math> töltéssűrűség közötti összefüggést, az úgynevezett töltésmegmaradási tételt az első Maxwell-egyenlet (Ampere-törvény) jobb és bal oldalának divergenciájából kapjuk | ||
Line 68: | Line 71: | ||
::<math>\nabla\cdot\vec{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0</math>. | ::<math>\nabla\cdot\vec{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0</math>. | ||
− | Ez az egyenlet azt jelenti, hogy az áram és a töltés változása térben is időben | + | Ez az egyenlet azt jelenti, hogy az áram és a töltés változása térben is időben függenek egymástól. |
==== Integrális alak ==== | ==== Integrális alak ==== | ||
− | A Maxwell-egyenletek integrális alakja könnyen származtatható a differenciális alakból a Stokes-tétel és a Gauss-tétel | + | A Maxwell-egyenletek integrális alakja könnyen származtatható a differenciális alakból a Stokes-tétel és a Gauss-tétel felhasználásával. A Maxwell-egyenletek integrális alakban |
{| width=100%, | {| width=100%, | ||
|- valign=top | |- valign=top | ||
− | | width=40%, style="text-align: | + | | width=40%, style="text-align: left;" | |
− | <math>\oint_{\scriptstyle l}\vec{H}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=\int_{\scriptstyle A}\vec{J}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}+\frac{\partial}{\partial t}\int_{A}\vec{D}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}</math> | + | ::<math>\oint_{\scriptstyle l}\vec{H}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=\int_{\scriptstyle A}\vec{J}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}+\frac{\partial}{\partial t}\int_{A}\vec{D}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}</math> |
− | | width= | + | | width=40%, style="text-align: left;" | |
− | Ampere | + | Ampere-féle gerjesztési törvény, |
| width=40%, rowspan=4, style="text-align: center;" | | | width=40%, rowspan=4, style="text-align: center;" | | ||
|- valign=top, | |- valign=top, | ||
− | | width=40%, style="text-align: | + | | width=40%, style="text-align: left;" | |
− | <math>\oint_{l}\vec{E}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=-\frac{\partial}{\partial t}\int_{A}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}</math> | + | ::<math>\oint_{l}\vec{E}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=-\frac{\partial}{\partial t}\int_{A}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}</math> |
− | | width= | + | | width=40%, style="text-align: left;" | |
− | Faraday | + | Faraday-féle indukció törvény, |
|- valign=top | |- valign=top | ||
− | | width=40%, style="text-align: | + | | width=40%, style="text-align: left;" | |
− | <math>\oint_{\scriptstyle A}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}=0</math> | + | ::<math>\oint_{\scriptstyle A}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}=0</math> |
− | | width= | + | | width=40%, style="text-align: left;" | |
− | | + | Fluxusmegmaradás törvénye, |
|- valign=top | |- valign=top | ||
− | | width=40%, style="text-align: | + | | width=40%, style="text-align: left;" | |
− | <math>\oint_{\scriptstyle A}\vec{D}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A} = \int_{\scriptstyle V}\rho(\vec{r},t)\text{d}V</math> | + | ::<math>\oint_{\scriptstyle A}\vec{D}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A} = \int_{\scriptstyle V}\rho(\vec{r},t)\text{d}V</math> |
− | | width= | + | | width=40%, style="text-align: left;" | |
− | Gauss | + | Gauss-törvény. |
|} | |} | ||
Line 111: | Line 114: | ||
A fenti egyenletek más alakban | A fenti egyenletek más alakban | ||
− | ::<math>\vec{B}=\ | + | ::<math>\vec{B}=\mathfrak{B}(\vec{H})</math>, |
− | ::<math>\vec{J}=\ | + | ::<math>\vec{J}=\mathfrak{J}(\vec{E})</math>, |
− | ::<math>\vec{D}=\ | + | ::<math>\vec{D}=\mathfrak{D}(\vec{E})</math>, |
− | ahol <math>\ | + | ahol <math>\mathfrak{B}(\cdot)</math>, <math>\mathfrak{J}(\cdot)</math> és <math>\mathfrak{D}(\cdot)</math> operátorok. |
− | Ha az anyag tulajdonsága független a tértől <math>\vec{r}</math>, akkor ''homogénnek'' nevezzük, máskülönben ''inhomogén'', <math>\mu=\mu(\vec{r})</math>, <math>\sigma=\sigma(\vec{r})</math>, <math>\varepsilon=\varepsilon(\vec{r})</math>. A | + | Ha az anyag tulajdonsága független a tértől <math>\vec{r}</math>, akkor ''homogénnek'' nevezzük, máskülönben ''inhomogén'', <math>\mu=\mu(\vec{r})</math>, <math>\sigma=\sigma(\vec{r})</math>, <math>\varepsilon=\varepsilon(\vec{r})</math>. A konstitúciós reláció függhet a gerjesztés frekvenciájától is, <math>\mu=\mu(f)</math>, <math>\sigma=\sigma(f)</math>, <math>\varepsilon=\varepsilon(f)</math>. Ha a konstitúciós reláció paraméterei függenek a térváltozók irányától, akkor az anyag ''anizotrop'', máskülönben ''izotrop''. Anizotrop esetben a permeabilitás, a vezetőképesség és a permittivitás tenzor, <math>\vec{B}=[\mu]\vec{H}</math>, <math>\vec{J}=[\sigma]\vec{E}</math>, <math>\vec{D}=[\varepsilon]\vec{E}</math>, mint például |
::<math>[\mu]=\begin{bmatrix} | ::<math>[\mu]=\begin{bmatrix} | ||
Line 127: | Line 130: | ||
\end{bmatrix}</math>. | \end{bmatrix}</math>. | ||
− | A legáltalánosabb esetben, a | + | A legáltalánosabb esetben, a konstitúciós relációk függenek az összes fentebb említett változótól, például |
::<math>\vec{B}=\mathfrak{B}\{\vec{H},\vec{r},f\}</math>. | ::<math>\vec{B}=\mathfrak{B}\{\vec{H},\vec{r},f\}</math>. | ||
Line 134: | Line 137: | ||
=== Határ- és peremfeltételek === | === Határ- és peremfeltételek === | ||
<blockquote> | <blockquote> | ||
− | Maxwell | + | A Maxwell-egyenletek a konstitúciós relációkkal együtt adják egy elektromágneses feladat megoldását. De ahhoz, hogy egyértelmű megoldást kapjunk, peremfeltételeket kell alkalmaznunk a feladat külső határára. Emellett, olyan feladatnál, ahol eltérő tulajdonsággal rendelkező anyag tölti ki a teret (<math>\mu_{1}; \mu_{2}; \varepsilon_{1}; \varepsilon_{2}; \sigma_{1}; \sigma_{2}</math>), a térváltozóknak eleget kell tenniük a folytonossági feltételeknek a két anyag közötti határon. |
− | ==== | + | ==== Határfeltételek ==== |
− | [[File:Interface.PNG|400px|thumb|left|alt= | + | [[File:Interface.PNG|400px|thumb|left|alt=Az elektromos és mágneses tér két anyag közötti határon. |Az elektromos és mágneses tér két anyag közötti határon.]] |
− | + | Két anyag közötti határfeltételen az elektromos térerősség tangenciálisa komponensére írunk elő feltételt, | |
− | |||
− | ::<math>\vec{n}\times\left(\vec{E}_{2} - \vec{E}_{1} = \vec{0} | + | ::<math>\vec{n}\times\left(\vec{E}_{2} - \vec{E}_{1}\right) = \vec{0}</math>. |
− | + | A mágneses térerősség vektor tangenciális összetevője a <math>\vec{K}</math> felületi áramsűrűséggel van összefüggésben, | |
::<math>\vec{n}\times\left(\vec{H}_{2} - \vec{H}_{1}\right) = \vec{K}</math>. | ::<math>\vec{n}\times\left(\vec{H}_{2} - \vec{H}_{1}\right) = \vec{K}</math>. | ||
− | + | A <math>\vec{K}</math> felületi áramsűrűség a <math>\vec{n}</math> normális irányú egységvektorra merőlegesen (tangenciálisan) folyik a felületen. Ha nincs felületi áramsűrűség a két anyag határán, a mágneses térerősség tangenciális irányú komponensének folytonosnak kell lennie, | |
::<math>\vec{n}\times\left(\vec{H}_{2} - \vec{H}_{1}\right) = \vec{0}</math>. | ::<math>\vec{n}\times\left(\vec{H}_{2} - \vec{H}_{1}\right) = \vec{0}</math>. | ||
− | + | Két különböző dielektrikum határán a <math>\vec{D}</math> elektromos fluxussűrűség normális irányú komponense akkor lesz folytonos, ha <math>\rho_{\scriptstyle A} = 0</math>, vagyis nincs felületi töltéssűrűség a határfelületen, | |
::<math>\vec{n}\cdot\left(\vec{D}_{2} - \vec{D}_{1}\right) = 0</math>, | ::<math>\vec{n}\cdot\left(\vec{D}_{2} - \vec{D}_{1}\right) = 0</math>, | ||
− | + | máskülönben a fluxussűrűség normális irányú komponense ugorhat a határfelületen, | |
::<math>\vec{n}\cdot\left(\vec{D}_{2} - \vec{D}_{1}\right) = \rho_{\scriptstyle A}</math>. | ::<math>\vec{n}\cdot\left(\vec{D}_{2} - \vec{D}_{1}\right) = \rho_{\scriptstyle A}</math>. | ||
− | + | Különböző mágneses anyagok találkozásának határán a <math>\vec{B}</math> mágneses fluxussűrűség normális irányú komponensének folytonosnak kell lennie, | |
::<math>\vec{n}\cdot\left(\vec{B}_{2} - \vec{B}_{1}\right) = 0</math>. | ::<math>\vec{n}\cdot\left(\vec{B}_{2} - \vec{B}_{1}\right) = 0</math>. | ||
− | + | A töltésmegmaradás törvényének értelmében örvényáramú esetben, a <math>\vec{J}</math> vezetési áram normális irányú komponense folytonos, | |
::<math>\vec{n}\cdot\left(\vec{J}_{2} - \vec{J}_{1}\right) = 0</math>, | ::<math>\vec{n}\cdot\left(\vec{J}_{2} - \vec{J}_{1}\right) = 0</math>, | ||
− | + | vagy általános alakban | |
::<math>\vec{n}\cdot\left(\vec{D}_{2} - \vec{D}_{1}\right) + \vec{n}\cdot\left(\frac{\partial \vec{D}_{2}}{\partial t}-\frac{\partial \vec{D}_{1}}{\partial t}\right) = 0</math>, | ::<math>\vec{n}\cdot\left(\vec{D}_{2} - \vec{D}_{1}\right) + \vec{n}\cdot\left(\frac{\partial \vec{D}_{2}}{\partial t}-\frac{\partial \vec{D}_{1}}{\partial t}\right) = 0</math>, | ||
− | + | kell teljesüljön az anyagok közötti határon. | |
+ | |||
+ | ==== Peremfeltételek ==== | ||
+ | A vizsgált feladat külső peremén peremfeltételeknek kell teljesülniük, hogy a feladat egyértelmű megoldását kapjuk. Ezeket a kényszerek ''Dirichlet típusú'' és ''Neumann típusú'', illetve ''homogén'' és ''inhomogén'' peremfeltételek lehetnek. Ezeket a feltételeket a Laplace-egyenlet megoldásán keresztül mutatom be | ||
+ | |||
+ | ::<math>\nabla\cdot\varepsilon\nabla V=0</math>, | ||
+ | |||
+ | ahol a <math>V</math> függvény a teret vagy a potenciált jelenti. A ''homogén Dirichlet peremfeltétel'' a következőt jelenti | ||
− | = | + | ::<math>V(\vec{r})=0</math>, |
+ | a feladat külső felületén. Tökéletes vezető esetében ez a feltétel <math>E_{\text{tan}}=0</math> lesz. | ||
+ | |||
+ | A ''homogén Neumann peremfeltételt'' a következőképpen adjuk meg | ||
+ | |||
+ | ::<math>\frac{\partial V(\vec{r})}{\partial n}=\nabla V \cdot \vec{n} = 0</math>, | ||
+ | |||
+ | a feladat külső felületére, vagyis <math>V</math> a külső felület normális irányú komponens szerint vett deriváltja nulla kell legyen a felületen. Ez a feltétel tökéletes vezető esetében azt jelenti, hogy <math>\partial H/\partial n = 0</math>, mivel a <math>H</math> normális irányra vett deriváltja arányos az elektromos térerősség tangenciális irányú összetevőjével. Ez előzőek alapján, felírhatjuk a peremfeltételek ''inhomogén'' változatát, amit akkor kapunk, ha a jobb oldal nem zérus, például | ||
+ | |||
+ | ::<math>V(\vec{r})=\text{konstans}</math>; | ||
+ | |||
+ | ::<math>\frac{\partial V(\vec{r})}{\partial n}=\nabla V \cdot \vec{n} = \text{konstans}</math>. | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
== Elektromágneses terek - Sztatikus terek == | == Elektromágneses terek - Sztatikus terek == | ||
− | + | A legegyszerűbb esetben a térváltozók idő szerinti változását elhanyagoljuk, azaz <math>\partial/\partial t = 0</math>. Az elektrosztatikus teret általában valamilyen nyugvó töltéssűrűség hozza létre, miközben a sztatikus mágneses teret az állandó sebességgel mozgó töltések (egyenáram) hozzák létre. | |
=== Sztatikus mágneses tér === | === Sztatikus mágneses tér === | ||
<blockquote> | <blockquote> | ||
− | + | A sztatikus mágneses tér alapösszefüggései az Ampere-féle gerjesztési törvény | |
− | ::<math>\nabla\times\vec{H}(\vec{r},t)=\vec{J}(\vec{r},t) | + | ::<math>\nabla\times\vec{H}(\vec{r},t)=\vec{J}(\vec{r},t)\qquad</math> vagy <math>\qquad\oint_{\scriptstyle l}\vec{H}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=\int_{\scriptstyle A}\vec{J}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}</math>, |
− | + | ami összefügg a Biot-Savart törvénnyel, és a mágneses fluxussűrűség megmaradásának törvénye (vagy nevezhetjük mágneses Gauss törvénynek) | |
− | ::<math>\nabla\cdot\vec{B} = 0\qquad</math> | + | ::<math>\nabla\cdot\vec{B} = 0\qquad</math> vagy <math>\qquad\oint_{\scriptstyle A}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}=0</math>. |
− | + | A <math>\vec{B}</math> és <math>\vec{H}</math> vektorterek között a kapcsolatot a <math>\mu = \mu_{0}\mu_{r}</math> (H/m) permeabilitás teremti meg a következőképpen <math>\vec{B}=\mu\vec{H}</math>, ahol <math>\mu_{0} = 4\pi\cdot10^{-7}\tfrac{\text{H}}{\text{m}}</math> a vákuum permeabilitása, és <math>\mu_{r}</math> a relatív permeabilitás. | |
− | + | Az <math>\vec{A}</math> mágneses vektorpotenciált bevezetve (Wb/m), a mágneses térerősséget kifejezhetjük, mint | |
::<math>\vec{B}=\nabla\times\vec{A}</math>, | ::<math>\vec{B}=\nabla\times\vec{A}</math>, | ||
− | + | a <math>\nabla\cdot\left(\nabla\times\vec{v}\right)\equiv\vec{0}</math> azonosság miatt. | |
− | + | Az Ampere-féle gerjesztési törvény, a konstitúciós reláció és a <math>\vec{B}</math> összefüggéséből a következő egyenletet kapjuk | |
::<math>\nabla\times\left(\frac{1}{\mu}\nabla\times\vec{A}\right)=\vec{J}</math>. | ::<math>\nabla\times\left(\frac{1}{\mu}\nabla\times\vec{A}\right)=\vec{J}</math>. | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
+ | |||
=== Elektrosztatikus tér === | === Elektrosztatikus tér === | ||
<blockquote> | <blockquote> | ||
− | + | Az elektrosztatikus tér két alapösszefüggése a Gauss törvény, | |
+ | |||
+ | ::<math>\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{\scriptstyle A}\qquad</math> vagy <math>\qquad\oint_{\scriptstyle A}\vec{D}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A} = \int_{\scriptstyle V}\rho(\vec{r},t)\text{d}V</math>, | ||
− | + | ami közvetlen következménye a Coulomb törvénynek, és a következő összefüggés, | |
− | + | ::<math>\nabla\times\vec{E}=\vec{0}\qquad</math> vagy <math>\qquad\oint_{l}\vec{E}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=\vec{0}</math>, | |
− | + | amelyet a Faraday-féle indukciótörvényből kapunk. | |
− | + | A <math>\vec{D}</math> és az <math>\vec{E}</math> vektortér között a kapcsolatot a <math>\vec{D}=\varepsilon\vec{E}</math> összefüggés adja meg, ahol <math>\varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}</math> a permittivitás (F/m), az <math>\varepsilon_{0} = 8.854\cdot10^{-12}\tfrac{\text{F}}{\text{m}}</math> a vákuum permittivitás és az <math>\varepsilon_{r}</math> a relatív permittivitás. Az <math>\vec{E}</math> elektromos térerősség kifejezhető a <math>V</math> ''elektromos skalárpotenciállal'' (V) | |
− | ::<math>\vec{E}=-\nabla V\qquad</math> | + | ::<math>\vec{E}=-\nabla V\qquad</math> vagy <math>\qquad V = -\int\vec{E}\cdot\text{d}\vec{l}</math>, |
− | + | a <math>\nabla\times\left(\nabla V\right)\equiv\vec{0}</math> összefüggés értelmében. | |
− | + | A Gauss törvény, a konstitúciós reláció és az <math>\vec{E}</math> térerősség kifejezésének felhasználásával a ''Poisson-egyenletet'' kapjuk | |
::<math>\nabla\cdot\varepsilon\nabla V=-\rho_{\scriptstyle A}</math>, | ::<math>\nabla\cdot\varepsilon\nabla V=-\rho_{\scriptstyle A}</math>, | ||
− | + | vagy, ha <math>\rho_{\scriptstyle A} = 0</math>, akkor a ''Laplace-egyenletet'' kapjuk | |
::<math>\nabla\cdot\varepsilon\nabla V=0</math>. | ::<math>\nabla\cdot\varepsilon\nabla V=0</math>. |
Latest revision as of 13:44, 13 November 2021
Elektromágneses terek alapjai / Sztatikus mágneses és elektrosztatikus tér | |
Oktató
|
További oktatók:
|
Contents
[hide]Elektromágneses terek alapjai
Az elektromágneses térelmélet adja az alapját több látszólag eltérő fizikai jelenségeknek. Ilyen jelenségek a hullámterjedés, a reflexió (visszaverődés), a fénytörés, a diffrakció és a szóródás. A következőkben áttekintjük az elektromágneses terek alapjait.
Maxwell-egyenletek
Az elektromágneses terek viselkedését matematikailag a Maxwell-egyenletek írják le. Ezeknek az egyenleteknek van differenciális és integrális alakja egyaránt. Az időben változó elektromágneses terek esetében a következő Maxwell-egyenletek lesznek érvényesek.
Differenciális alak
- ∇×→H(→r,t)=→J(→r,t)+∂D(→r,t)∂t
Ampere-féle gerjesztési törvény,
- ∇×→E(→r,t)=−∂→B(→r,t)∂t
Faraday-féle indukció törvény,
- ∇⋅→B(→r,t)=0
Fluxusmegmaradás törvénye,
- ∇⋅→D(→r,t)=ρ(→r,t)
Gauss-törvény,
ahol:
- →H(→r,t)
a mágneses térerősség [A/m];
- →E(→r,t)
az elektromos térerősség [V/m];
- →B(→r,t)
a mágneses fluxussűrűség [Wb/m2];
- →D(→r,t)
az elektromos fluxussűrűség [C/m2];
- →J(→r,t)
az áramsűrűség [A/m2];
- ρ(→r,t)
a térfogati töltséssűrűség [C/m3].A térváltozók függenek a tértől →r
és az időtől t, azonban a rövidebb jelölés érdekében ezt a továbbiakban nem írjuk ki.A →J
áramsűrűség és a ρtöltéssűrűség közötti összefüggést, az úgynevezett töltésmegmaradási tételt az első Maxwell-egyenlet (Ampere-törvény) jobb és bal oldalának divergenciájából kapjuk
- ∇⋅(∇×→H)=∇⋅(→J+∂D∂t)=∇⋅→J+∂∂t∇⋅→D
.A baloldal nullával egyenlő a következő azonosság értelmében ∇⋅(∇×→v)≡0
, minden →v=→v(→r,t)vektor esetében. A jobb oldal második tagja átírható az elektromos Gauss-törvény felhasználásával. Végül a töltésmegmaradás egyenlet formájában a következő lesz
- ∇⋅→J+∂ρ∂t=0
.Ez az egyenlet azt jelenti, hogy az áram és a töltés változása térben is időben függenek egymástól.
Integrális alak
A Maxwell-egyenletek integrális alakja könnyen származtatható a differenciális alakból a Stokes-tétel és a Gauss-tétel felhasználásával. A Maxwell-egyenletek integrális alakban
- ∮l→H(→r,t)⋅d→l=∫A→J(→r,t)⋅d→A+∂∂t∫A→D(→r,t)⋅d→A
Ampere-féle gerjesztési törvény,
- ∮l→E(→r,t)⋅d→l=−∂∂t∫A→B(→r,t)⋅d→A
Faraday-féle indukció törvény,
- ∮A→B(→r,t)⋅d→A=0
Fluxusmegmaradás törvénye,
- ∮A→D(→r,t)⋅d→A=∫Vρ(→r,t)dV
Gauss-törvény.
A Maxwell-egyenletek egyértelműen leírják a teret és érvényesek helytől, időtől és anyagtól függetlenül.
Konstitúciós relációk
A térváltozók kapcsolatát leíró egyenletek a konstitúciós relációk. A konstitúciós relációk általánosan nemlineárisak, vagyis a permeabilitás μ
, a vezetőképesség σés a permittivitás εfügg a megfelelő térváltozótól,
- μ=μ(→H,→B)
,
- σ=σ(→E,→J)
,
- ε=ε(→E,→D)
.A fenti egyenletek más alakban
- →B=B(→H)
,
- →J=J(→E)
,
- →D=D(→E)
,ahol B(⋅)
, J(⋅)és D(⋅)operátorok.Ha az anyag tulajdonsága független a tértől →r
, akkor homogénnek nevezzük, máskülönben inhomogén, μ=μ(→r), σ=σ(→r), ε=ε(→r). A konstitúciós reláció függhet a gerjesztés frekvenciájától is, μ=μ(f), σ=σ(f), ε=ε(f). Ha a konstitúciós reláció paraméterei függenek a térváltozók irányától, akkor az anyag anizotrop, máskülönben izotrop. Anizotrop esetben a permeabilitás, a vezetőképesség és a permittivitás tenzor, →B=[μ]→H, →J=[σ]→E, →D=[ε]→E, mint például
- [μ]=[μxxμxyμxzμyxμyyμyzμzxμzyμzz]
.A legáltalánosabb esetben, a konstitúciós relációk függenek az összes fentebb említett változótól, például
- →B=B{→H,→r,f}
.
Határ- és peremfeltételek
A Maxwell-egyenletek a konstitúciós relációkkal együtt adják egy elektromágneses feladat megoldását. De ahhoz, hogy egyértelmű megoldást kapjunk, peremfeltételeket kell alkalmaznunk a feladat külső határára. Emellett, olyan feladatnál, ahol eltérő tulajdonsággal rendelkező anyag tölti ki a teret (μ1;μ2;ε1;ε2;σ1;σ2
), a térváltozóknak eleget kell tenniük a folytonossági feltételeknek a két anyag közötti határon.Határfeltételek
Két anyag közötti határfeltételen az elektromos térerősség tangenciálisa komponensére írunk elő feltételt,
- →n×(→E2−→E1)=→0
.A mágneses térerősség vektor tangenciális összetevője a →K
felületi áramsűrűséggel van összefüggésben,
- →n×(→H2−→H1)=→K
.A →K
felületi áramsűrűség a →nnormális irányú egységvektorra merőlegesen (tangenciálisan) folyik a felületen. Ha nincs felületi áramsűrűség a két anyag határán, a mágneses térerősség tangenciális irányú komponensének folytonosnak kell lennie,
- →n×(→H2−→H1)=→0
.Két különböző dielektrikum határán a →D
elektromos fluxussűrűség normális irányú komponense akkor lesz folytonos, ha ρA=0, vagyis nincs felületi töltéssűrűség a határfelületen,
- →n⋅(→D2−→D1)=0
,máskülönben a fluxussűrűség normális irányú komponense ugorhat a határfelületen,
- →n⋅(→D2−→D1)=ρA
.Különböző mágneses anyagok találkozásának határán a →B
mágneses fluxussűrűség normális irányú komponensének folytonosnak kell lennie,
- →n⋅(→B2−→B1)=0
.A töltésmegmaradás törvényének értelmében örvényáramú esetben, a →J
vezetési áram normális irányú komponense folytonos,
- →n⋅(→J2−→J1)=0
,vagy általános alakban
- →n⋅(→D2−→D1)+→n⋅(∂→D2∂t−∂→D1∂t)=0
,kell teljesüljön az anyagok közötti határon.
Peremfeltételek
A vizsgált feladat külső peremén peremfeltételeknek kell teljesülniük, hogy a feladat egyértelmű megoldását kapjuk. Ezeket a kényszerek Dirichlet típusú és Neumann típusú, illetve homogén és inhomogén peremfeltételek lehetnek. Ezeket a feltételeket a Laplace-egyenlet megoldásán keresztül mutatom be
- ∇⋅ε∇V=0
,ahol a V
függvény a teret vagy a potenciált jelenti. A homogén Dirichlet peremfeltétel a következőt jelenti
- V(→r)=0
,a feladat külső felületén. Tökéletes vezető esetében ez a feltétel Etan=0
lesz.A homogén Neumann peremfeltételt a következőképpen adjuk meg
- ∂V(→r)∂n=∇V⋅→n=0
,a feladat külső felületére, vagyis V
a külső felület normális irányú komponens szerint vett deriváltja nulla kell legyen a felületen. Ez a feltétel tökéletes vezető esetében azt jelenti, hogy ∂H/∂n=0, mivel a Hnormális irányra vett deriváltja arányos az elektromos térerősség tangenciális irányú összetevőjével. Ez előzőek alapján, felírhatjuk a peremfeltételek inhomogén változatát, amit akkor kapunk, ha a jobb oldal nem zérus, például
- V(→r)=konstans
;
- ∂V(→r)∂n=∇V⋅→n=konstans
.
Elektromágneses terek - Sztatikus terek
A legegyszerűbb esetben a térváltozók idő szerinti változását elhanyagoljuk, azaz ∂/∂t=0
Sztatikus mágneses tér
A sztatikus mágneses tér alapösszefüggései az Ampere-féle gerjesztési törvény
- ∇×→H(→r,t)=→J(→r,t)
vagy ∮l→H(→r,t)⋅d→l=∫A→J(→r,t)⋅d→A,ami összefügg a Biot-Savart törvénnyel, és a mágneses fluxussűrűség megmaradásának törvénye (vagy nevezhetjük mágneses Gauss törvénynek)
- ∇⋅→B=0
vagy ∮A→B(→r,t)⋅d→A=0.A →B
és →Hvektorterek között a kapcsolatot a μ=μ0μr(H/m) permeabilitás teremti meg a következőképpen →B=μ→H, ahol μ0=4π⋅10−7Hma vákuum permeabilitása, és μra relatív permeabilitás.Az →A
mágneses vektorpotenciált bevezetve (Wb/m), a mágneses térerősséget kifejezhetjük, mint
- →B=∇×→A
,a ∇⋅(∇×→v)≡→0
azonosság miatt.Az Ampere-féle gerjesztési törvény, a konstitúciós reláció és a →B
összefüggéséből a következő egyenletet kapjuk
- ∇×(1μ∇×→A)=→J
.
Elektrosztatikus tér
Az elektrosztatikus tér két alapösszefüggése a Gauss törvény,
- ∇⋅→D=ρA
vagy ∮A→D(→r,t)⋅d→A=∫Vρ(→r,t)dV,ami közvetlen következménye a Coulomb törvénynek, és a következő összefüggés,
- ∇×→E=→0
vagy ∮l→E(→r,t)⋅d→l=→0,amelyet a Faraday-féle indukciótörvényből kapunk.
A →D
és az →Evektortér között a kapcsolatot a →D=ε→Eösszefüggés adja meg, ahol ε=ε0εra permittivitás (F/m), az ε0=8.854⋅10−12Fma vákuum permittivitás és az εra relatív permittivitás. Az →Eelektromos térerősség kifejezhető a Velektromos skalárpotenciállal (V)
- →E=−∇V
vagy V=−∫→E⋅d→l,a ∇×(∇V)≡→0
összefüggés értelmében.A Gauss törvény, a konstitúciós reláció és az →E
térerősség kifejezésének felhasználásával a Poisson-egyenletet kapjuk
- ∇⋅ε∇V=−ρA
,vagy, ha ρA=0
, akkor a Laplace-egyenletet kapjuk
- ∇⋅ε∇V=0
.