Difference between revisions of "3. lecke"
(Created page with "{| width=100% |- | colspan=2 align=center | <font color='blue' size='+2'>A végeselem-módszer alapjai / Harmonikus mágneses tér</font> |- valign=top | width=50% | '''Oktat...") |
(→A mágneses vektorpotenciál és az elektromos skalárpotenciál) |
||
(9 intermediate revisions by the same user not shown) | |||
Line 2: | Line 2: | ||
|- | |- | ||
| colspan=2 align=center | | | colspan=2 align=center | | ||
− | <font color='blue' size='+2'> | + | <font color='blue' size='+2'>Csatolt végeselem-módszer / Időfüggő mágneses tér</font> |
− | |- | + | |- |
− | | width | + | | style="text-align: left; width: 36%;" | |
'''Oktató''' | '''Oktató''' | ||
− | * Marcsa Dániel (óraadó) | + | * [http://wiki.maxwell.sze.hu/index.php/Marcsa Marcsa Dániel] (óraadó) |
− | * Előadás: | + | * Előadás: - |
* Fogadóóra: egyeztetés alapján | * Fogadóóra: egyeztetés alapján | ||
− | | width | + | | style="text-align: left; width: 36%;" | |
'''További oktatók:''' | '''További oktatók:''' | ||
* - | * - | ||
Line 15: | Line 15: | ||
|} | |} | ||
− | == | + | == Csatolt végeselem-módszer == |
− | |||
<blockquote> | <blockquote> | ||
− | + | === Merevtest mozgás figyelembevétele === | |
− | + | Az elektromechanikus rendszerekben (villamos gépek, aktuátorok, ...), az egyes részek merevtest mozgást végeznek a rájuk ható erő és/vagy nyomaték hatására. Az így bekövetkező mozgás a legtöbb esetben jelentősen visszahat a mágneses térre. Emellett, a mozgás és az időben változó mágneses tér hatására a vezető anyagokban (ahol <math>\sigma\neq 0</math>) örvényáram keletkezik. A mozgás következtében indukálódó áram (örvényáramok) a következő összefüggéssel számítható | |
− | |||
− | + | ::<math>\vec{J}_{M} = \sigma\vec{v}\times\vec{B}</math>, | |
− | + | ahol <math>\vec{v}</math> a mozgó test sebessége. | |
− | + | === Feszültséggel gerjesztett modell === | |
+ | A legtöbb esetben a vizsgált rendszer feszültségkényszerrel működik és a tekercsben folyó áram ismeretlen. Ahhoz, hogy az ilyen feladatot megoldjuk, a Maxwell-egyenletekből származó parciális differenciálegyenletek mellett szükséges a tekercs feszültségegyenletét is megoldani. A tekercs feszültségegyenletét a következő alakban írhatjuk | ||
− | + | ::<math>u(t) = R i(t) + N\frac{\text{d}\Phi(t)}{\text{d}t}</math>, | |
− | + | ahol <math>u(t)</math> a tekercsre kapcsolt feszültség, <math>R</math> és <math>N</math> a tekercs ellenállása és a tekercs menetszáma, <math>\Phi(t)</math> a mágneses fluxus [Wb/m] amely kapcsolódik a tekerccsel. | |
− | + | Végül az erős csatolás esetében az egyenletrendszer | |
− | A | + | ::<math>\begin{bmatrix} |
+ | \mathbf{S}+\frac{\mathbf{N}}{\Delta t} & -\mathbf{P} \\ | ||
+ | \frac{\mathbf{Q}}{\Delta t} & \mathbf{R} | ||
+ | \end{bmatrix}\begin{bmatrix} | ||
+ | \mathbf{A}(t)\\ | ||
+ | \mathbf{I}(t) | ||
+ | \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} | ||
+ | \frac{\mathbf{N}}{\Delta t} & \mathbf{0} \\ | ||
+ | \frac{\mathbf{Q}}{\Delta t} & \mathbf{0} | ||
+ | \end{bmatrix}\begin{bmatrix} | ||
+ | \mathbf{A}(t-\Delta t)\\ | ||
+ | \mathbf{I}(t-\Delta t) | ||
+ | \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} | ||
+ | \mathbf{0}\\ | ||
+ | \mathbf{U}(t) | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
− | Az | + | ahol <math>\mathbf{A}</math> az ismeretlen mágneses vektorpotenciálokat, <math>\mathbf{I}</math> az ismeretlen tekercsáramokat és <math>\mathbf{U}</math> a tekercs kapcsainál ismert gerjesztőfeszültséget tartalmazó vektor. Az <math>\mathbf{S}</math> a <math>\mu</math> permeabilitással, <math>\mathbf{N}</math> a <math>\sigma</math> vezetőképességgel kapcsolatos mátrix. A <math>\mathbf{P}</math> a tekercselésben meginduló áramokhoz, míg <math>\mathbf{Q}</math> a tekercselés fluxuskapcsolódásához tartozó mátrix. Az <math>\mathbf{R}</math> mátrix egy diagonális mátrix, melynek a főátlóját a tekercsek ellenállásának egyenáramú összetevői alkotják. |
− | |||
− | { | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
</blockquote> | </blockquote> | ||
− | == | + | == Időfüggő mágneses tér == |
<blockquote> | <blockquote> | ||
− | + | A legtöbbször a vizsgált elektromágneses berendezés (érzékelő, beavatkozó, motor, ...) kvázistacionárius feladatnak tekinthető. Kvázistacionárius esetben a <math>\partial \vec{D}/\partial t</math> eltolási áramsűrűséget elhanyagoljuk, és a Maxwell-egyenletek a következők lesznek | |
{| width=60%, | {| width=60%, | ||
|- valign=top | |- valign=top | ||
| width=40%, style="text-align: right;" | | | width=40%, style="text-align: right;" | | ||
− | <math>\nabla\times\vec{H}=\vec{J} | + | <math>\nabla\times\vec{H}=\vec{J}</math> |
| width=20%, style="text-align: left;" | | | width=20%, style="text-align: left;" | | ||
Ampere-féle gerjesztési törvény, | Ampere-féle gerjesztési törvény, | ||
|- valign=top, | |- valign=top, | ||
| width=40%, style="text-align: right;" | | | width=40%, style="text-align: right;" | | ||
− | <math>\nabla\times\vec{E}=- | + | <math>\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}</math> |
| width=20%, style="text-align: left;" | | | width=20%, style="text-align: left;" | | ||
Faraday-féle indukció törvény, | Faraday-féle indukció törvény, | ||
|- valign=top | |- valign=top | ||
| width=40%, style="text-align: right;" | | | width=40%, style="text-align: right;" | | ||
− | <math>\nabla\cdot\vec{B}=0</math> | + | <math>\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r},t)=0</math> |
| width=20%, style="text-align: left;" | | | width=20%, style="text-align: left;" | | ||
− | Fluxusmegmaradás | + | Fluxusmegmaradás törvénye. |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
|} | |} | ||
− | A | + | === A mágneses vektorpotenciál és az elektromos skalárpotenciál === |
+ | A <math>\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r},t)=0</math> egyenlet értelmében a mágneses fluxussűrűség forrásmentes, tehát leírhatjuk egy vektor rotációjaként | ||
+ | |||
+ | ::<math> \vec{B} = \nabla\times\vec{A}</math>, | ||
+ | |||
+ | ahol <math>\vec{A}</math> a mágneses vektorpotenciál [Wb/m]. Ezt az összefüggést behelyettesítve a Faraday-féle indukció törvénybe a következő összefüggést kapjuk | ||
− | ::<math>\vec{ | + | ::<math>\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t} \left(\nabla\times\vec{A}\right)=-\nabla\times\left(\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right) \to \nabla\times\left(\vec{E}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right)=\vec{0}</math>, |
− | + | mert a rotáció (térbeli deriválás) és az idő szerinti deriválás felcserélhetőek. A <math>\vec{E}+\partial\vec{A}/\partial t</math> forrásmentes vektortér leírható a <math>V</math> elektromos skalárpotenciállal (<math>\nabla\times\nabla\varphi\equiv0</math> teljesül minden skalár függvényre <math>\varphi=\varphi(\vec{r})</math> vagy <math>\varphi=\varphi(\vec{r},t)</math>), | |
− | |||
− | ::<math>\ | + | ::<math>\vec{E}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}=-\nabla V</math>, |
− | + | és az <math>\vec{E}</math> elektromos térerősség a két bevezetett potenciállal leírható | |
− | + | ::<math>\vec{E}=-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}-\nabla V</math>. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | Helyettesítsük a <math>\vec{B}</math> és az <math>\vec{E}</math> összefüggését az Ampere-féle gerjesztési törvénybe, amellyel a következő parciális differenciálegyenletet kapjuk | ||
− | + | ::<math>\nabla\times\left(\frac{1}{\mu}\nabla\times\vec{A}\right)=\vec{J}_{S}-\sigma\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}-\sigma\nabla V+\sigma\vec{v}\times\nabla\times\vec{A}</math>. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | Ha a sebesség a priori ismert, a jobb oldal negyedik tagja lineáris marad, de mint konvektív tag szerepel az egyenletben. Ezért a numerikus számításnál stabilitási okokból sűrű felbontást vagy adaptív hálózást kell alkalmazni. | ||
</blockquote> | </blockquote> | ||
− | == | + | == Irodalomjegyzék == |
{{reflist}} | {{reflist}} |
Latest revision as of 13:51, 13 November 2021
Csatolt végeselem-módszer / Időfüggő mágneses tér | |
Oktató
|
További oktatók:
|
Contents
[hide]Csatolt végeselem-módszer
Merevtest mozgás figyelembevétele
Az elektromechanikus rendszerekben (villamos gépek, aktuátorok, ...), az egyes részek merevtest mozgást végeznek a rájuk ható erő és/vagy nyomaték hatására. Az így bekövetkező mozgás a legtöbb esetben jelentősen visszahat a mágneses térre. Emellett, a mozgás és az időben változó mágneses tér hatására a vezető anyagokban (ahol σ≠0
) örvényáram keletkezik. A mozgás következtében indukálódó áram (örvényáramok) a következő összefüggéssel számítható
- →JM=σ→v×→B
,ahol →v
a mozgó test sebessége.Feszültséggel gerjesztett modell
A legtöbb esetben a vizsgált rendszer feszültségkényszerrel működik és a tekercsben folyó áram ismeretlen. Ahhoz, hogy az ilyen feladatot megoldjuk, a Maxwell-egyenletekből származó parciális differenciálegyenletek mellett szükséges a tekercs feszültségegyenletét is megoldani. A tekercs feszültségegyenletét a következő alakban írhatjuk
- u(t)=Ri(t)+NdΦ(t)dt
,ahol u(t)
a tekercsre kapcsolt feszültség, Rés Na tekercs ellenállása és a tekercs menetszáma, Φ(t)a mágneses fluxus [Wb/m] amely kapcsolódik a tekerccsel.Végül az erős csatolás esetében az egyenletrendszer
- [S+NΔt−PQΔtR][A(t)I(t)]=[NΔt0QΔt0][A(t−Δt)I(t−Δt)]+[0U(t)]
ahol A
az ismeretlen mágneses vektorpotenciálokat, Iaz ismeretlen tekercsáramokat és Ua tekercs kapcsainál ismert gerjesztőfeszültséget tartalmazó vektor. Az Sa μpermeabilitással, Na σvezetőképességgel kapcsolatos mátrix. A Pa tekercselésben meginduló áramokhoz, míg Qa tekercselés fluxuskapcsolódásához tartozó mátrix. Az Rmátrix egy diagonális mátrix, melynek a főátlóját a tekercsek ellenállásának egyenáramú összetevői alkotják.
Időfüggő mágneses tér
A legtöbbször a vizsgált elektromágneses berendezés (érzékelő, beavatkozó, motor, ...) kvázistacionárius feladatnak tekinthető. Kvázistacionárius esetben a ∂→D/∂t
eltolási áramsűrűséget elhanyagoljuk, és a Maxwell-egyenletek a következők lesznek
∇×→H=→J
Ampere-féle gerjesztési törvény,
∇×→E=−∂→B∂t
Faraday-féle indukció törvény,
∇⋅→B(→r,t)=0
Fluxusmegmaradás törvénye.
A mágneses vektorpotenciál és az elektromos skalárpotenciál
A ∇⋅→B(→r,t)=0
egyenlet értelmében a mágneses fluxussűrűség forrásmentes, tehát leírhatjuk egy vektor rotációjaként
- →B=∇×→A
,ahol →A
a mágneses vektorpotenciál [Wb/m]. Ezt az összefüggést behelyettesítve a Faraday-féle indukció törvénybe a következő összefüggést kapjuk
- ∇×→E=−∂∂t(∇×→A)=−∇×(∂→A∂t)→∇×(→E+∂→A∂t)=→0
,mert a rotáció (térbeli deriválás) és az idő szerinti deriválás felcserélhetőek. A →E+∂→A/∂t
forrásmentes vektortér leírható a Velektromos skalárpotenciállal (∇×∇φ≡0teljesül minden skalár függvényre φ=φ(→r)vagy φ=φ(→r,t)),
- →E+∂→A∂t=−∇V
,és az →E
elektromos térerősség a két bevezetett potenciállal leírható
- →E=−∂→A∂t−∇V
.Helyettesítsük a →B
és az →Eösszefüggését az Ampere-féle gerjesztési törvénybe, amellyel a következő parciális differenciálegyenletet kapjuk
- ∇×(1μ∇×→A)=→JS−σ∂→A∂t−σ∇V+σ→v×∇×→A
.Ha a sebesség a priori ismert, a jobb oldal negyedik tagja lineáris marad, de mint konvektív tag szerepel az egyenletben. Ezért a numerikus számításnál stabilitási okokból sűrű felbontást vagy adaptív hálózást kell alkalmazni.