Difference between revisions of "1. lecke"
(→Peremfeltételek) |
|||
Line 165: | Line 165: | ||
==== Peremfeltételek ==== | ==== Peremfeltételek ==== | ||
− | A vizsgált feladat külső peremén peremfeltételeknek kell teljesülniük, hogy a feladat egyértelmű megoldását kapjuk. Ezeket a kényszerek ''Dirichlet típusú'' és ''Neumann típusú'', illetve ''homogén'' | + | A vizsgált feladat külső peremén peremfeltételeknek kell teljesülniük, hogy a feladat egyértelmű megoldását kapjuk. Ezeket a kényszerek ''Dirichlet típusú'' és ''Neumann típusú'', illetve ''homogén'' és ''inhomogén'' peremfeltételek lehetnek. Ezeket a feltételeket a Laplace-egyenlet megoldásán keresztül mutatom be |
::<math>\nabla\cdot\varepsilon\nabla V=0</math>, | ::<math>\nabla\cdot\varepsilon\nabla V=0</math>, |
Revision as of 08:56, 24 September 2019
Elektromágneses terek alapjai / Sztatikus mágneses és elektrosztatikus tér |
Contents
[hide]Elektromágneses terek alapjai
Az elektromágneses térelmélet adja az alapját több látszólag eltérő fizikai jelenségeknek. Ilyen jelenségek a hullámterjedés, a reflexió (visszaverődés), a fénytörés, a diffrakció és a szóródás. A következőkben áttekintjük az elektromágneses terek alapjait.
Maxwell-egyenletek
Az elektromágneses terek viselkedését matematikailag a Maxwell-egyenletek írják le. Ezeknek az egyenleteknek van differenciális és integrális alakja egyaránt. Az időben változó elektromágneses terek esetében a következő Maxwell-egyenletek lesznek érvényesek.
Differenciális alak
∇×→H(→r,t)=→J(→r,t)+∂D(→r,t)∂t
Ampere-féle gerjesztési törvény,
∇×→E(→r,t)=−∂→B(→r,t)∂t
Faraday-féle indukció törvény,
∇⋅→B(→r,t)=0
Fluxusmegmaradásás törvénye,
∇⋅→D(→r,t)=ρ(→r,t)
Gauss-törvény,
ahol:
- →H(→r,t)
a mágneses térerősség [A/m];
- →E(→r,t)
az elektromos térerősség [V/m];
- →B(→r,t)
a mágneses fluxussűrűség [Wb/m2];
- →D(→r,t)
az elektromos fluxussűrűség [C/m2];
- →J(→r,t)
az áramsűrűség [A/m2];
- ρ(→r,t)
a térfogati töltséssűrűség [C/m3].A térváltozók függenek a tértől →r
és az időtől t, azonban a rövidebb jelölés érdekében ezt a továbbiakban nem írjuk ki.A →J
áramsűrűség és a ρtöltéssűrűség közötti összefüggést, az úgynevezett töltésmegmaradási tételt az első Maxwell-egyenlet (Ampere-törvény) jobb és bal oldalának divergenciájából kapjuk
- ∇⋅(∇×→H)=∇⋅(→J+∂D∂t)=∇⋅→J+∂∂t∇⋅→D
.A baloldal nullával egyenlő a következő azonosság értelmében ∇⋅(∇×→v)≡0
, minden →v=→v(→r,t)vektor esetében. A jobb oldal második tagja átírható az elektromos Gauss-törvény felhasználásával. Végül a töltésmegmaradás egyenlet formájában a következő lesz
- ∇⋅→J+∂ρ∂t=0
.Ez az egyenlet azt jelenti, hogy az áram és a töltés változása térben is időben függenek egymástól.
Integrális alak
A Maxwell-egyenletek integrális alakja könnyen származtatható a differenciális alakból a Stokes-tétel és a Gauss-tétel felhasználásával. A Maxwell-egyenletek integrális alakban
∮l→H(→r,t)⋅d→l=∫A→J(→r,t)⋅d→A+∂∂t∫A→D(→r,t)⋅d→A
Ampere-féle gerjesztési törvény,
∮l→E(→r,t)⋅d→l=−∂∂t∫A→B(→r,t)⋅d→A
Faraday-féle indukció törvény,
∮A→B(→r,t)⋅d→A=0
Fluxusmegmaradás törvénye,
∮A→D(→r,t)⋅d→A=∫Vρ(→r,t)dV
Gauss-törvény.
A Maxwell-egyenletek egyértelműen leírják a teret és érvényesek helytől, időtől és anyagtól függetlenül.
Konstitúciós relációk
A térváltozók kapcsolatát leíró egyenletek a konstitúciós relációk. A konstitúciós relációk általánosan nemlineárisak, vagyis a permeabilitás μ
, a vezetőképesség σés a permittivitás εfügg a megfelelő térváltozótól,
- μ=μ(→H,→B)
,
- σ=σ(→E,→J)
,
- ε=ε(→E,→D)
.A fenti egyenletek más alakban
- →B=→B(→H)
,
- →J=→J(→E)
,
- →D=→D(→E)
,ahol →B(⋅)
, →J(⋅)és →D(⋅)operátorok.Ha az anyag tulajdonsága független a tértől →r
, akkor homogénnek nevezzük, máskülönben inhomogén, μ=μ(→r), σ=σ(→r), ε=ε(→r). A konstitúciós reláció függhet a gerjesztés frekvenciájától is, μ=μ(f), σ=σ(f), ε=ε(f). Ha a konstitúciós reláció paraméterei függenek a térváltozók irányától, akkor az anyag anizotrop, máskülönben izotrop. Anizotrop esetben a permeabilitás, a vezetőképesség és a permittivitás tenzor, →B=[μ]→H, →J=[σ]→E, →D=[ε]→E, mint például
- [μ]=[μxxμxyμxzμyxμyyμyzμzxμzyμzz]
.A legáltalánosabb esetben, a konstitúciós relációk függenek az összes fentebb említett változótól, például
- →B=B{→H,→r,f}
.
Határ- és peremfeltételek
A Maxwell-egyenletek a konstitúciós relációkkal együtt adják egy elektromágneses feladat megoldását. De ahhoz, hogy egyértelmű megoldást kapjunk, peremfeltételeket kell alkalmaznunk a feladat külső határára. Emellett, olyan feladatnál, ahol eltérő tulajdonsággal rendelkező anyag tölti ki a teret (μ1;μ2;ε1;ε2;σ1;σ2
), a térváltozóknak eleget kell tenniük a folytonossági feltételeknek a két anyag közötti határon.Határfeltételek
Két anyag közötti határfeltételen az elektromos térerősség tangenciálisa komponensére írunk elő feltételt,
- →n×(→E2−→E1=→0)
.A mágneses térerősség vektor tangenciális összetevője a →K
felületi áramsűrűséggel van összefüggésben,
- →n×(→H2−→H1)=→K
.A →K
felületi áramsűrűség a →nnormális irányú egységvektorra merőlegesen (tangenciálisan) folyik a felületen. Ha nincs felületi áramsűrűség a két anyag határán, a mágneses térerősség tangenciális irányú komponensének folytonosnak kell lennie,
- →n×(→H2−→H1)=→0
.Két különböző dielektrikum határán a →D
elektromos fluxussűrűség normális irányú komponense akkor lesz folytonos, ha ρA=0, vagyis nincs felületi töltéssűrűség a határfelületen,
- →n⋅(→D2−→D1)=0
,máskülönben a fluxussűrűség normális irányú komponense ugorhat a határfelületen,
- →n⋅(→D2−→D1)=ρA
.Különböző mágneses anyagok találkozásának határán a →B
mágneses fluxussűrűség normális irányú komponensének folytonosnak kell lennie,
- →n⋅(→B2−→B1)=0
.A töltésmegmaradás törvényének értelmében örvényáramú esetben, a →J
vezetési áram normális irányú komponense folytonos,
- →n⋅(→J2−→J1)=0
,vagy általános alakban
- →n⋅(→D2−→D1)+→n⋅(∂→D2∂t−∂→D1∂t)=0
,kell teljesüljön az anyagok közötti határon.
Peremfeltételek
A vizsgált feladat külső peremén peremfeltételeknek kell teljesülniük, hogy a feladat egyértelmű megoldását kapjuk. Ezeket a kényszerek Dirichlet típusú és Neumann típusú, illetve homogén és inhomogén peremfeltételek lehetnek. Ezeket a feltételeket a Laplace-egyenlet megoldásán keresztül mutatom be
- ∇⋅ε∇V=0
,ahol a V
függvény a teret vagy a potenciált jelenti. A homogén Dirichlet peremfeltétel a következőt jelenti
- V(→r)=0
,a feladat külső felületén. Tökéletes vezető esetében ez a feltétel Etan=0
lesz.A homogén Neumann peremfeltételt a következőképpen adjuk meg
- ∂V(→r)∂n=∇V⋅→n=0
,a feladat külső felületére, vagyis V
a külső felület normális irányú komponens szerint vett deriváltja nulla kell legyen a felületen. Ez a feltétel tökéletes vezető esetében azt jelenti, hogy ∂H/∂n=0, mivel a Hnormális irányra vett deriváltja arányos az elektromos térerősség tangenciális irányú összetevőjével. Ez előzőek alapján, felírhatjuk a peremfeltételek inhomogén változatát, amit akkor kapunk, ha a jobb oldal nem zérus, például
- V(→r)=konstans
;
- ∂V(→r)∂n=∇V⋅→n=konstans
.
Elektromágneses terek - Sztatikus terek
A legegyszerűbb esetben a térváltozók idő szerinti változását elhanyagoljuk, azaz ∂/∂t=0
Sztatikus mágneses tér
A sztatikus mágneses tér alapösszefüggései az Ampere-féle gerjesztési törvény
- ∇×→H(→r,t)=→J(→r,t)+∂D(→r,t)∂t
vagy ∮l→H(→r,t)⋅d→l=∫A→J(→r,t)⋅d→A,ami összefügg a Biot-Savart törvénnyel, és a mágneses fluxussűrűség megmaradásának törvénye (vagy nevezhetjük mágneses Gauss törvénynek)
- ∇⋅→B=0
vagy ∮A→B(→r,t)⋅d→A=0.A →B
és →Hvektorterek között a kapcsolatot a μ=μ0μr(H/m) permeabilitás teremti meg a következőképpen →B=μ→H, ahol μ0=4π⋅10−7Hma vákuum permeabilitása, és μra relatív permeabilitás. A →Jés →Eközött a σ(S/m) vezetőképesség teremt kapcsolatot, mint →J=σ→E.Az →A
mágneses vektorpotenciált bevezetve (Wb/m), a mágneses térerősséget kifejezhetjük, mint
- →B=∇×→A
,a ∇⋅(∇×→v)≡→0
azonosság miatt.Az Ampere-féle gerjesztési törvény, a konstitúciós reláció és a →B
összefüggéséből a következő egyenletet kapjuk
- ∇×(1μ∇×→A)=→J
.
Elektrosztatikus tér
Az elektrosztatikus tér két alapösszefüggése a Gauss törvény,
- ∇⋅→D=ρA
vagy ∮A→D(→r,t)⋅d→A=∫Vρ(→r,t)dV,ami közvetlen következménye a Coulomb törvénynek, és a következő összefüggés,
- ∇×→E=→0
vagy ∮l→E(→r,t)⋅d→l=→0,amelyet a Faraday-féle indukciótörvényből kapunk.
A →D
és az →Evektortér között a kapcsolatot a →D=ε→Eösszefüggés adja meg, ahol ε=ε0εra permittivitás (F/m), az ε0=8.854⋅10−12Fma vákuum permittivitás és az εra relatív permittivitás. Az →Eelektromos térerősség kifejezhető a Velektromos skalárpotenciállal (V)
- →E=−∇V
vagy V=−∫→E⋅d→l,a ∇×(∇V)≡→0
összefüggés értelmében.A Gauss törvény, a konstitúciós reláció és az →E
térerősség kifejezésének felhasználásával a Poisson-egyenletet kapjuk
- ∇⋅ε∇V=−ρA
,vagy, ha ρA=0
, akkor a Laplace-egyenletet kapjuk
- ∇⋅ε∇V=0
.