Difference between revisions of "Kapacitás számítása"

Revision as of 16:20, 28 January 2020

Kételektródás elrendezés kapacitásának számítása
A feladat végeselemhálója és a peremek elnevezése.	A feladat megoldása ONELAB (Gmsh + GetDP) segítségével.

A feladat célja

A feladat geometriája.

A feladat keresztmetszete a méretekkel.

A hallgató megismerje a végeselem-módszerhez kapcsolódó főbb lépéseket, mint a geometria elkészítése vagy importálása, anyagparaméterek, peremfeltételek és gerjesztés megadása, eredmények megjelenítése. Emellett pedig bemutasson a hallgatónak egy szabadon hozzáférhető szoftvert, ami nagyon jól használható disszertációk és kutatások során, köszönhetően felhasználóbarát grafikus felületének és tetszőlegesen konfigurálható megoldójának.

A feladat példája Dr. habil Gyimóthy Szabolcs egyetemi docens Elektromágneses terek előadásából származik. Az előadást ajánlom mindenkinek aki betekintést szeretne kapni a végeselem-módszer elméleti hátterébe, hogy mi az, amit legtöbbször a szoftverek elrejtenek a felhasználó elől.

A példa az előadásban a Matlab PDE Toolbox segítségével kerül megoldásra. Itt a szabadon hozzáférhető ONELAB (Gmsh + GetDP) és a kereskedelmi ANSYS Maxwell szoftverekkel lesz a megoldás bemutatva. Ezen utóbbi szoftver elsősorban az előadásban elhangzott adaptív hálósűrítés miatt.

A ONELAB a neve alapján (Open Numerical Engineering LABoratory) egy nyitott, elsősorban a végeselem-módszeren alapuló numerikus mérnöki laboratórium. Két fő részből áll, ahol a grafikus környezetet a Gmsh adja, ami az elő- és utófeldolgozó és a hálógeneráló szerepét tölti be. A megoldó pedig a GetDP, ami alkalmas 1D-s, 2D-s síkbeli és forgásszimmetrikus és 3D-s sztatikus, szinuszos és harmonikus, időfüggő és sajátértékfeladatok megoldására.

Érdekességképpen a GetDP mellett még létezik a GetDDM, ami egy tartomány-dekompozíciós módszeren (optimalizált Schwarz-módszer) alapuló megoldó nagyméretű végeselem-módszeren alapuló feladatokhoz. A másik érdekesség a ONELAB mobilapplikáció, ami lehetővé teszi, hogy mobil eszközök (mobiltelefon, tablet) is használjuk a ONELAB-ot.

A feladat megoldásához szükséges ismeretek

• A végeselem-módszer lépései és annak elméleti háttere;
• Elektrosztatikus terek, Laplace-Poisson-egyenlet;
• ONELAB részeinek (Gmsh, GetDP) ismerete.

A vizsgált csőtápvonal

A feladat geometriai méretei: [math]a = 2\text{cm}[/math] (széles oldal); [math]b = 1\text{cm}[/math] (keskeny oldal); [math]L = 16\text{cm}; th = 1\text{mm}[/math] (csőtápvonal falvastagsága).

A geometria elkészítését és a beállításokat a feladathoz készült YouTube videóban részletezem.

A feladat megoldásához az elektromos térerősségre felírt Helmholtz-egyenletet^[1] oldjuk meg

[math] \Delta\vec{E} + k^2\vec{E} = 0 [/math]

ahol [math]k = \omega\sqrt{\mu\varepsilon}[/math] a terjedési együttható és [math]\Delta[/math] a Laplace-operátor.

Azonban egy csőtápvonal szimulációja előtt érdemes meghatározni a vágási frekvenciát (vagy határfrekvenciát, ami alatt nincs hullámterjedés a csőtápvonalban). A vágási frekvencia a következő összefüggéssel határozható meg^[1][2]:

[math] f_{h,mn} = \frac{1}{2\sqrt{\mu\varepsilon}}\sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2}[/math],

ahol [math]\mu[/math] és [math]\varepsilon[/math] a csőtápvonalat kitöltő dielektrikum permeabilitása és permittivitása.

A szimulációval kapott eredmények

A bemeneti reflexió ([math]\text{S}_{11}[/math] paraméter) és az előre irányú átviteli tényező ([math]\text{S}_{21}[/math] paraméter) a frekvencia függvényében.

A levegővel kitöltött csőtápvonalnál [math]\text{TE}_{10}[/math] (ejtsd: té e egy nulla) módus esetében a vágási frekvencia

[math] f_{h,10} = \frac{1}{2\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\sqrt{\left(\frac{1}{0,02}\right)^2 + \left(\frac{0}{0,01}\right)^2} = \frac{1}{2\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\cdot0,02}= 7,4926\text{GHz} \approx 7,5\text{GHz}[/math].

A bemeneti reflexió és az előre irányú átviteli tényező frekvenciafüggvényén (jobb oldali ábra) jól látható, hogy a szimulációval visszakaptuk az előzőleg analitikusan kiszámolt vágási frekvenciát. A vágási frekvenciát követően az átvitel eléri a maximumát.

Emellett a lenti ábrákon látható az elektromos (baloldali ábra - E field) és mágneses (jobboldali ábra - H field) térerősség a négyszögletes csőtápvonal keresztmetszetében [math]\text{TE}_{10}[/math] módusnál. Ezekhez tartozik a két animáció, amelyből látható, hogy az elektromos térerősségnek csak a terjedési irányra merőleges komponense van ([math] E_z = 0 [/math]), vagyis itt tényleg egy transzverzális elektromos ([math]\text{TE}[/math]) térről van szó.

References

1. ↑ ^{1.0 1.1} Istvánffy E.: Tápvonalak, antennák és hullámterjedés, Műegyetemi Kiadó, 1997.
2. ↑ Kolos T., Standeisky I.: Mikrohullámú technika I., Tankönyvkiadó, 1980.