Difference between revisions of "Feladat 5"

Revision as of 09:10, 14 October 2020

A feladat célja

A hallgatók elsajátítsák az elektromágneses térszámítás alapjait, főbb lépéseit, valamint gyakorlatot szerezzen az eredmények kiértékelésében a FEMM vagy az Agros2D szoftver segítségével. Ezen túl a nemzetközi elvárásoknak megfelelő Műszaki Jelentés (Technical Report) írásában is gyakorlatot szerezzen.

A feladat egy söntellenállásnál meghatározni a feszültségesést, az ellenállást és a keletkező veszteségeket adott áramerősség mellett.

A feladat megoldásához szükséges ismeretek

• A végeselem-módszer lépései;
• A stacionárius áramlási térre vonatkozó elméleti ismeretek (anyagok definiálásához, gerjesztés és peremfeltétel megadásához);
• A FEMM vagy Agros2D szoftver alapszintű kezelése.

A feladat

A feladat két részből áll, a szimulációból és az összefoglaló elkészítéséből.

Feladat I. része

Rezisztencia és veszteség számítása végeselem-módszerrel

A kapott sorszám alapján a feladat geometriájának méreteit a következő táblázatban találja: Feladat #3 méretei.

A feladat: meghatározni az elrendezés esetében a feszültségesést, a rezisztenciát és az ohmos veszteséget.
A feszültségesés az elrendezés két kapcsa között lévő potenciálkülönbség. A rezisztenciát az Ohm-törvény segítségével tudja meghatározni:

$$R = \frac{U}{I}$$ ,

majd a veszteség

$$P = I^2\cdot R$$

képlettel, ahol $$U$$ a feszültségesés, $$I$$ az áramerősség, $$R$$ a rezisztencia.

A $$z-$$ irányú hossza (vastagsága) a feladatnak minden esetben $$5\,\text{mm}$$ legyen.

Elvégzendő feladatok

• A megadott paraméterek alapján elkészíteni a síkbeli (planar) feladat geometriáját a FEMM vagy Agros2D szoftverek valamelyikében;
• Az anyagtulajdonságok, a gerjesztés és a peremfeltételek megadása;
• A FEM szimuláció futtatása;
• Az eredmények kiértékelése, ha a $$z-$$ irányú hossza a feladatnak minden esetben $$5\,\text{mm}$$ .

A táblázatban található méretek jelentését az alábbi ábrák mutatják. A táblázatban a 2. oszlop jelöli a változat számát.

Szoftverek használatának bemutatása

Az 1. ábrán látható feladat megoldásán keresztül röviden bemutatom az előadáson és az önálló feladat során használandó szoftvereket. A feladathoz készült videók segítségével elsajátítható a feladat beállítása, a geometria rajzolása, az anyagtulajdonságok, a peremfeltételek és a gerjesztés megadása. Majd a megoldást követően a térváltozók megjelenítése és a feladathoz kapcsolódó számítandó mennyiségek meghatározása. A feladatban az áramerősség $$400~\text{A}$$ .

A mintdapéldához nincs a levegő berajzolva. Ennek méretei a videókban megtalálhatóak, de akár gyakorlásképpen ellenőrizhető, hogyan befolyásolja a kapacitás értékét (az eredményt) a lezárás mérete.

Videók a szoftverek használatához

• [ FEMM]
• [ Agros2D]
• [ Ansys Maxwell 2D]
• [ Ansys Maxwell 3D]
• [ Ansys Q3D Extractor]

A hővezetés differenciálegyenlete^[1]

A hővezetés általános differenciálegyenletéhez az energimegmaradás tételét a hővezetés jelenségére alkalmazva jutunk.
Vizsgáljuk egy $$V$$ térfogatú hővezető közeg energiaegyensúlyát. A térfogatba foglalt közeg:

$$m = \int_{V}\rho~\text{d}V$$ ,

ahol $$\rho$$ a sűrűség [ $$\text{kg}/\text{m}^3$$ ].
A tömeg hőmérsékletének $$\text{d}T$$ értékkel való növelése $$\text{d}\tau$$ idő alatt $$\text{d}Q$$ hőmennyiség közlése mellett történik. A hőmérséklet idő szerinti változása

$$\text{d}T = \frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}\tau$$

egy helyfüggő érték. A felmelegítéshez szükséges hőmennyiség

$$\text{d}Q = \text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V$$ ,

ahol $$c$$ az anyag helytől függő fajhője.

A közölt hőmennyiség származhat a vizsgált térrészen belül elhelyezkedő hőforrásból ( $$\text{d}Q_1$$ ), vagy érkezhet a vizsgált tartományt határoló felületen keresztül hővezetéssel ( $$\text{d}Q_2$$ ). A két hőmennyiség összege a felmelegítésre fordított hőmennyiséggel egyenlő:

$$\text{d}Q = \text{d}Q_1 + \text{d}Q_2$$ .

Hőforrásként jelentkezhet a közegben például az elektromos áram hőhatása. A hőforráseloszlás ( $$q_V$$ ) ismeretében a vizsgált $$V$$ térrészben $$\text{d}\tau$$ idő alatt keletkező hőmennyiség:

$$\text{d}Q_1 = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V$$ .

A $$V$$ térrészt határoló $$S$$ felületen át vezetéssel a térrészbe belépő és az onnan szintén vezetéssel kilépő hőmennyiség eredője, ugyancsak $$\text{d}\tau$$ idő alatt:

$$\text{d}Q_2 = -\text{d}\tau\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S}$$ ,

ahol $$\vec{q}$$ a hőáramsűrűség vektora. Az $$S$$ felület normálisát pozitívnak tekintjük, ha a vizsgált térrészből kifelé mutat. A negatív előjel azért szükséges, mert a $$\text{d}Q_2$$ hőmennyiséget akkor tekintjük pozitívnak, ha az a vizsgált térrészben lévő tömeg hőmérsékletét növeli. Azonban a felület normálisának iránya miatt (kifelé mutat) a térrészbe belépő hőmennyiség negatív értéként adódik.

A hőmérsékletek azonosságát kifejező egyenletbe helyettesítve:

$$\text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V -\text{d}\tau\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S}$$ .

Ez az összefüggés azt mutatja, hogy az $$S$$ felület által határolt $$V$$ térfogatban lévő közeg belső energiájának a vizsgált $$\text{d}\tau$$ idő alatt történő megváltozása az $$S$$ felületen keresztül vezetéssel belépő ls kilépő hőmennyiségek eredőjéből, valamint a $$V$$ térfogaton belül elhelyezkedő hőforrás által szolgáltatott hőmennyiségből adódik.
A Gauss-Osztrogradszkij tétel értelmében a jobb oldal második tagja átalakítható:

$$\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S} = \int_{V} \nabla\cdot\vec{q}~\text{d}V$$ ,

amit visszahelyettesítve és átrendezve a következő egyenletre vezet:

$$\text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V -\text{d}\tau\int_{V} \nabla\cdot\vec{q}~\text{d}V \rightarrow \text{d}\tau\int_{V} \big(c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} - q_V + \nabla\cdot\vec{q}\big)~\text{d}V = 0$$

Figyelembe véve azt, hogy az integrál zérus értéke az integrandusz zérus voltát jelenti, tehát

$$c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} - q_V + \nabla\cdot\vec{q} = 0$$ .

Egy szilárd testben, amelyben a hő kizárólag vezetés útján terjed, a $$\vec{q}$$ hőáramsűrűség valamely helyen a hely környezetében uralkodó hőmérsékleteloszlás alapján megállapítható. A legnagyobb hőmérsékletváltozás irányába mutató gradiens vektor és a $$\vec{q}$$ hőáramsűrűség vektor iránya megegyezik. Azonban a tapasztalat szerint a hő mindig a csökkenő hőmérséklet irányába áramlik, tehát a a hőmérsékletgradiens vektor és a $$\vec{q}$$ hőáramsűrűség vektor értelme ellentétes. A hőáramsűrűség vektor abszolút értéke az egységnyi elmozdulásra jutó hőmérsékletcsökkenéssel , azaz a gradiens vektor abszolút értékével arányos. A kettő közötti arányossági tényező az adott anyag $$\lambda$$ [ $$\text{W}/(\text{m}\cdot\text{K})$$ ] hővezetési tényezője. A leírtak alapján, az úgynevezett Fourier-törvény:

$$\vec{q} = \lambda\cdot(-\nabla~T) = -\lambda\cdot \nabla~T$$ .

Ezt az összefüggést felhasználva a hővezetés általános differenciálegyenlete:

$$-\nabla(\lambda\cdot \nabla~T) + c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} = q_V$$ .

További egyszerűsítést jelent az esetünkben, hogy stacionárius hőáramlásról van szó, azaz nincs időbeli változás

$$-\nabla(\lambda\cdot \nabla~T) = q_V$$ .

A feladatmegoldás során ezt az egyenletet oldjuk meg, ahol $$q_V$$ [ $$\text{W}/\text{m}^3$$ ] az adott térfogatban keletkező veszteség.

Feladat II. része

A műszaki jelentés elkészítése és leadása a Moodle rendszerben PDF formátumban.
A műszaki jelentés a következő linken elérhető: Word; PDF.

Hivatkozások

1. Jump up ↑ Szabó I., Áramlástan, műszaki hőtan, Tankönyvkiadó, Budapest, 1973.