3. lecke

Csatolt végeselem-módszer / Időfüggő mágneses tér

Csatolt végeselem-módszer

Merevtest mozgás figyelembevétele

Az elektromechanikus rendszerekben (villamos gépek, aktuátorok, ...), az egyes részek merevtest mozgást végeznek a rájuk ható erő és/vagy nyomaték hatására. Az így bekövetkező mozgás a legtöbb esetben jelentősen visszahat a mágneses térre. Emellett, a mozgás és az időben változó mágneses tér hatására a vezető anyagokban (ahol [math]\sigma\neq 0[/math]) örvényáram keletkezik. A mozgás következtében indukálódó áram (örvényáramok) a következő összefüggéssel számítható

[math]\vec{J}_{M} = \sigma\vec{v}\times\vec{B}[/math],

ahol [math]\vec{v}[/math] a mozgó test sebessége.

Feszültséggel gerjesztett modell

A legtöbb esetben a vizsgált rendszer feszültségkényszerrel működik és a tekercsben folyó áram ismeretlen. Ahhoz, hogy az ilyen feladatot megoldjuk, a Maxwell-egyenletekből származó parciális differenciálegyenletek mellett szükséges a tekercs feszültségegyenletét is megoldani. A tekercs feszültségegyenletét a következő alakban írhatjuk

[math]u(t) = R i(t) + N\frac{\text{d}\Phi(t)}{\text{d}t}[/math],

ahol [math]u(t)[/math] a tekercsre kapcsolt feszültség, [math]R[/math] és [math]N[/math] a tekercs ellenállása és a tekercs menetszáma, [math]\Phi(t)[/math] a mágneses fluxus [Wb/m] amely kapcsolódik a tekerccsel.

Végül az erős csatolás esetében az egyenletrendszer

[math]\begin{bmatrix} \mathbf{S}+\frac{\mathbf{N}}{\Delta t} & -\mathbf{P} \\ \frac{\mathbf{Q}}{\Delta t} & \mathbf{R} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{A}(t)\\ \mathbf{I}(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\mathbf{N}}{\Delta t} & \mathbf{0} \\ \frac{\mathbf{Q}}{\Delta t} & \mathbf{0} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{A}(t-\Delta t)\\ \mathbf{I}(t-\Delta t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \mathbf{0}\\ \mathbf{U}(t) \end{bmatrix}[/math]

ahol [math]\mathbf{A}[/math] az ismeretlen mágneses vektorpotenciálokat, [math]\mathbf{I}[/math] az ismeretlen tekercsáramokat és [math]\mathbf{U}[/math] a tekercs kapcsainál ismert gerjesztőfeszültséget tartalmazó vektor. Az [math]\mathbf{S}[/math] a [math]\mu[/math] permeabilitással, [math]\mathbf{N}[/math] a [math]\sigma[/math] vezetőképességgel kapcsolatos mátrix. A [math]\mathbf{P}[/math] a tekercselésben meginduló áramokhoz, míg [math]\mathbf{Q}[/math] a tekercselés fluxuskapcsolódásához tartozó mátrix. Az [math]\mathbf{R}[/math] mátrix egy diagonális mátrix, melynek a főátlóját a tekercsek ellenállásának egyenáramú összetevői alkotják.

Időfüggő mágneses tér

A legtöbbször a vizsgált elektromágneses berendezés (érzékelő, beavatkozó, motor, ...) kvázistacionárius feladatnak tekinthető. Kvázistacionárius esetben a [math]\partial \vec{D}/\partial t[/math] eltolási áramsűrűséget elhanyagoljuk, és a Maxwell-egyenletek a következők lesznek

[math]\nabla\times\vec{H}=\vec{J}[/math]	Ampere-féle gerjesztési törvény,
[math]\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}[/math]	Faraday-féle indukció törvény,
[math]\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r},t)=0[/math]	Fluxusmegmaradás törvénye.

A mágneses vektorpotenciál és az elektromos skalárpotenciál

A [math]\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r},t)=0[/math] egyenlet értelmében a mágneses fluxussűrűség forrásmentes, tehát leírhatjuk egy vektor rotációjaként

[math] \vec{B} = \nabla\times\vec{A}[/math],

ahol [math]\vec{A}[/math] a mágneses vektorpotenciál [Wb/m]. Ezt az összefüggést behelyettesítve a Faraday-féle indukció törvénybe a következő összefüggést kapjuk

[math]\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t} \left(\nabla\times\vec{A}\right)=-\nabla\times\left(\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right) \to \nabla\times\left(\vec{E}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right)=\vec{0}[/math],

mert a rotáció (térbeli deriválás) és az idő szerinti deriválás felcserélhetőek. A [math]\vec{E}+\partial\vec{A}/\partial t[/math] forrásmentes vektortér leírható a [math]V[/math] elektromos skalárpotenciállal ([math]\nabla\times\nabla\varphi\equiv0[/math] teljesül minden skalár függvényre [math]\varphi=\varphi(\vec{r})[/math] vagy [math]\varphi=\varphi(\vec{r},t)[/math]),

[math]\vec{E}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}=-\nabla V[/math],

és az [math]\vec{E}[/math] elektromos térerősség a két bevezetett potenciállal leírható

[math]\vec{E}=-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}-\nabla V[/math].

Helyettesítsük a [math]\vec{B}[/math] és az [math]\vec{E}[/math] összefüggését a Faraday-féle indukció törvénybe, amellyel a következő parciális differenciálegyenletet kapjuk

[math]\nabla\times\left(\frac{1}{\mu}\nabla\times\vec{A}\right)=\vec{J}_{S}-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}-\nabla V+\sigma\vec{v}\times\nabla\times\vec{A}[/math].

Ha a sebesség a priori ismert, a jobb oldal negyedik tagja lineáris marad, de mint konvektív tag szerepel az egyenletben. Ezért a numerikus számításnál stabilitási okokból sűrű felbontást vagy adaptív hálózást kell alkalmazni.