3. lecke

Csatolt végeselem-módszer / Időfüggő mágneses tér
Oktató Dániel Marcsa (óraadó) Előadás: - Fogadóóra: egyeztetés alapján	További oktatók: - Fogadóóra: -.

Csatolt végeselem-módszer

Merevtest mozgás figyelembevétele

Az elektromechanikus rendszerekben (villamos gépek, aktuátorok, ...), az egyes részek merevtest mozgást végeznek a rájuk ható erő és/vagy nyomaték hatására. Az így bekövetkező mozgás a legtöbb esetben jelentősen visszahat a mágneses térre. Emellett, a mozgás és az időben változó mágneses tér hatására a vezető anyagokban (ahol $$\sigma\neq 0$$ ) örvényáram keletkezik. A mozgás következtében indukálódó áram (örvényáramok) a következő összefüggéssel számítható

$$\vec{J}_{M} = \sigma\vec{v}\times\vec{B}$$ ,

ahol $$\vec{v}$$ a mozgó test sebessége.

Feszültséggel gerjesztett modell

A legtöbb esetben a vizsgált rendszer feszültségkényszerrel működik és a tekercsben folyó áram ismeretlen. Ahhoz, hogy az ilyen feladatot megoldjuk, a Maxwell-egyenletekből származó parciális differenciálegyenletek mellett szükséges a tekercs feszültségegyenletét is megoldani. A tekercs feszültségegyenletét a következő alakban írhatjuk

$$u(t) = R i(t) + N\frac{\text{d}\Phi(t)}{\text{d}t}$$ ,

ahol $$u(t)$$ a tekercsre kapcsolt feszültség, $$R$$ és $$N$$ a tekercs ellenállása és a tekercs menetszáma, $$\Phi(t)$$ a mágneses fluxus [Wb/m] amely kapcsolódik a tekerccsel.

Végül az erős csatolás esetében az egyenletrendszer

$$\begin{bmatrix} \mathbf{S}+\frac{\mathbf{N}}{\Delta t} & -\mathbf{P} \\ \frac{\mathbf{Q}}{\Delta t} & \mathbf{R} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{A}(t)\\ \mathbf{I}(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\mathbf{N}}{\Delta t} & \mathbf{0} \\ \frac{\mathbf{Q}}{\Delta t} & \mathbf{0} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{A}(t-\Delta t)\\ \mathbf{I}(t-\Delta t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \mathbf{0}\\ \mathbf{U}(t) \end{bmatrix}$$

ahol $$\mathbf{A}$$ az ismeretlen mágneses vektorpotenciálokat, $$\mathbf{I}$$ az ismeretlen tekercsáramokat és $$\mathbf{U}$$ a tekercs kapcsainál ismert gerjesztőfeszültséget tartalmazó vektor. Az $$\mathbf{S}$$ a $$\mu$$ permeabilitással, $$\mathbf{N}$$ a $$\sigma$$ vezetőképességgel kapcsolatos mátrix. A $$\mathbf{P}$$ a tekercselésben meginduló áramokhoz, míg $$\mathbf{Q}$$ a tekercselés fluxuskapcsolódásához tartozó mátrix. Az $$\mathbf{R}$$ mátrix egy diagonális mátrix, melynek a főátlóját a tekercsek ellenállásának egyenáramú összetevői alkotják.

Időfüggő mágneses tér

A legtöbbször a vizsgált elektromágneses berendezés (érzékelő, beavatkozó, motor, ...) kvázistacionárius feladatnak tekinthető. Kvázistacionárius esetben a $$\partial \vec{D}/\partial t$$ eltolási áramsűrűséget elhanyagoljuk, és a Maxwell-egyenletek a következők lesznek

$$\nabla\times\vec{H}=\vec{J}$$	Ampere-féle gerjesztési törvény,
$$\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$	Faraday-féle indukció törvény,
$$\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r},t)=0$$	Fluxusmegmaradás törvénye.

A mágneses vektorpotenciál és az elektromos skalárpotenciál

A $$\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r},t)=0$$ egyenlet értelmében a mágneses fluxussűrűség forrásmentes, tehát leírhatjuk egy vektor rotációjaként

$$\vec{B} = \nabla\times\vec{A}$$ ,

ahol $$\vec{A}$$ a mágneses vektorpotenciál [Wb/m]. Ezt az összefüggést behelyettesítve a Faraday-féle indukció törvénybe a következő összefüggést kapjuk

$$\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t} \left(\nabla\times\vec{A}\right)=-\nabla\times\left(\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right) \to \nabla\times\left(\vec{E}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right)=\vec{0}$$ ,

mert a rotáció (térbeli deriválás) és az idő szerinti deriválás felcserélhetőek. A $$\vec{E}+\partial\vec{A}/\partial t$$ forrásmentes vektortér leírható a $$V$$ elektromos skalárpotenciállal ( $$\nabla\times\nabla\varphi\equiv0$$ teljesül minden skalár függvényre $$\varphi=\varphi(\vec{r})$$ vagy $$\varphi=\varphi(\vec{r},t)$$ ),

$$\vec{E}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}=-\nabla V$$ ,

és az $$\vec{E}$$ elektromos térerősség a két bevezetett potenciállal leírható

$$\vec{E}=-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}-\nabla V$$ .

Helyettesítsük a $$\vec{B}$$ és az $$\vec{E}$$ összefüggését a Faraday-féle indukció törvénybe, amellyel a következő parciális differenciálegyenletet kapjuk

$$\nabla\times\left(\frac{1}{\mu}\nabla\times\vec{A}\right)=\vec{J}_{S}-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}-\nabla V+\sigma\vec{v}\times\nabla\times\vec{A}$$ .

Ha a sebesség a priori ismert, a jobb oldal negyedik tagja lineáris marad, de mint konvektív tag szerepel az egyenletben. Ezért a numerikus számításnál stabilitási okokból sűrű felbontást vagy adaptív hálózást kell alkalmazni.