Kapacitás számítása

Kételektródás elrendezés kapacitásának számítása
A feladat végeselemhálója és a peremek elnevezése.	A feladat megoldása ONELAB (Gmsh + GetDP) segítségével.

Oktató Marcsa Dániel (óraadó) Előadás: - Fogadóóra: egyeztetés alapján	További oktatók: - Fogadóóra: -.

A hallgató megismerje a végeselem-módszerhez kapcsolódó főbb lépéseket, mint a geometria elkészítése vagy importálása, anyagparaméterek, peremfeltételek és gerjesztés megadása, eredmények megjelenítése. Emellett pedig bemutasson a hallgatónak egy szabadon hozzáférhető szoftvert, ami nagyon jól használható disszertációk és kutatások során, köszönhetően felhasználóbarát grafikus felületének és tetszőlegesen konfigurálható megoldójának.

A feladat példája Dr. habil Gyimóthy Szabolcs egyetemi docens Elektromágneses terek előadásából származik. Az előadást ajánlom mindenkinek aki betekintést szeretne kapni a végeselem-módszer elméleti hátterébe, hogy mi az, amit legtöbbször a szoftverek elrejtenek a felhasználó elől.

A példa az előadásban a Matlab PDE Toolbox segítségével kerül megoldásra. Itt a szabadon hozzáférhető ONELAB (Gmsh + GetDP) és a kereskedelmi ANSYS Maxwell szoftverekkel lesz a megoldás bemutatva. Ezen utóbbi szoftver elsősorban az előadásban elhangzott adaptív hálósűrítés miatt.

A ONELAB a neve alapján (Open Numerical Engineering LABoratory) egy nyitott, elsősorban a végeselem-módszeren alapuló numerikus mérnöki laboratórium. Két fő részből áll, ahol a grafikus környezetet a Gmsh adja, ami az elő- és utófeldolgozó és a hálógeneráló szerepét tölti be. A megoldó pedig a GetDP, ami alkalmas 1D-s, 2D-s síkbeli és forgásszimmetrikus és 3D-s sztatikus, szinuszos és harmonikus, időfüggő és sajátértékfeladatok megoldására.

Érdekességképpen a GetDP mellett még létezik a GetDDM, ami egy tartomány-dekompozíciós módszeren (optimalizált Schwarz-módszer) alapuló megoldó nagyméretű végeselem-módszeren alapuló feladatokhoz. A másik érdekesség a ONELAB mobilapplikáció, ami lehetővé teszi, hogy mobil eszközök (mobiltelefon, tablet) is használjuk a ONELAB-ot.

A feladat megoldásához szükséges ismeretek

A végeselem-módszer lépései és annak elméleti háttere;
Elektrosztatikus terek, Laplace-Poisson-egyenlet;
ONELAB részeinek (Gmsh, GetDP) ismerete.

A vizsgált elrendezés

A feladat részletes definiálása a videóban is megtalálható. Emellett készítettem egy háromdimenziós ábrát az elrendezés könnyebb elképzeléséhez és annak méretekkel ellátott keresztmetszetét. A feladat az eltolási szimmetria (

$Z$ -tengely mentén nem változik a feladat, vagyis

$\partial/\partial z = 0$ ) miatt kétdimenziós feladatnak tekinthető. Emellett a geometria jelölt középvonalára is szimmetrikus az elrendezés, így elég a felét vizsgálni. Ezen túl pedig a fém részek elhagyhatók, mert ott az elektromos térerősség értéke nulla. Így elegendő a két fémrész közötti teret kitöltő

$2.4\cdot\varepsilon_0$ permittivitású anyagot vizsgálni a megfelelő peremfeltételekkel. Dirichle-típusú peremfeltételként adjuk meg a külső és belső elektróda potenciálját (külső -

$0~\text{V}$ ; belső -

$100~\text{V}$ ). A szimmetriasík Neumann-típusú peremfeltétel lesz, viszont ez előírás nélkül, automatikusan is teljesül jelen feladatnál.

A feladat megoldásához a Laplace-egyenletet oldjuk meg

$-\,\text{div}\,\varepsilon\,\text{grad}\varphi = 0$

ahol

$\varphi$ az elektromos skalárpotenciál, a következő peremfeltételekkel

$\Gamma_{\text{D}1} = 0~\text{V}$ ,

$\Gamma_{\text{D}2}= 100~\text{V}$ ,

$\Gamma_{\text{N}}= \frac{\partial \varphi}{\partial n} = 0$ (homogén Neumann-peremfeltétel).

A szimulációval kapott eredmények

A háló adaptív finomítása a lokális hiba alapján. [Kattints a képre az animáció megtekintéséhez.]

Az előbb megadott parciális differenciálegyenlet és peremfeltételekkel előálló feladat megoldásával a következő táblázatban összefoglalt eredmények születtek a kapacitás értékére. A Matlab PDE Toolbox megoldása az előadásból (Gyimóthy Szabolcstól) származik. Gyakorlatilag a négy szoftver azonos megoldásra vezetett. Ilyen szempontból sokkal érdekesebb a végeselemek száma. Mindegyik esetben lineáris háromszög elemekkel lett felbontva a vizsgált tartomány.

A vizsgált elrendezés kapacitása.
	Matlab PDE Toolbox	ONELAB	ANSYS Maxwell	FEMM
Végeselemek száma	2944	2598	740	7885
Kapacitás [ $\text{pF/m}$ ]	173.51	173.78	173.33	173.70

A lineáris végeselemkből következik, hogy végeselemen belül a

$\varphi$ potenciál értéke lineárisan változik, vagyis az elektromos térerősség (

$\vec{E}=\text{grad}\varphi$ ) konstant a végeselemen belül. Ez jól megfigyelhető a jobb oldali ábrán. Az ilyen ábrák elkerülése végett használnak sokszor az utófeldolgozásnál valamilyen simító (smoothing) algoritmust.