1. lecke
|
Oktató
|
További oktatók:
|
Contents
Elektromágneses terek alapjai
Az elektromágneses térelmélet adja az alapját több látszólag eltérő fizikai jelenségeknek. Ilyen jelenségek a hullámterjedés, a reflexió (visszaverődés), a fénytörés, a diffrackció és a szóródás. A következőkben áttekintjük az elektromágneses terek alajait.
Maxwell-egyenletek
Az elektromágneses terek viselkedését matematikailag a Maxwell-egyenletek írják le. Ezeknek az egyenleteknek van differenciális és integrális alakja egyaránt. Az időben változó elektromágneses terek esetében a következő Maxwell-egyenletek lesznek érvényesek.
Differenciális alak
[math]\nabla\times\vec{H}(\vec{r},t)=\vec{J}(\vec{r},t)+\frac{\partial D(\vec{r},t)}{\partial t}[/math]
Ampere-féle gerjesztési törvény,
[math]\nabla\times\vec{E}(\vec{r},t)=-\frac{\partial \vec{B}(\vec{r},t)}{\partial t}[/math]
Faraday-féle indukció törvény,
[math]\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r},t)=0[/math]
Fluxusmegmaradás törvénye,
[math]\nabla\cdot\vec{D}(\vec{r},t)=\rho(\vec{r},t)[/math]
Gauss-törvény,
ahol:
- [math]\vec{H}(\vec{r},t)[/math] a mágneses térerősség [A/m];
- [math]\vec{E}(\vec{r},t)[/math] az elektromos térerősség [V/m];
- [math]\vec{B}(\vec{r},t)[/math] a mágneses fluxussűrűség [Wb/m[math]^2[/math]];
- [math]\vec{D}(\vec{r},t)[/math] az elektromos fluxussűrűség [C/m[math]^2[/math]];
- [math]\vec{J}(\vec{r},t)[/math] az áramsűrűség [A/m[math]^2[/math]];
- [math]\rho(\vec{r},t)[/math] a térfogati töltséssűrűség [C/m[math]^3[/math]].
A térválzotók függnek a tértől [math]\vec{r}[/math] és az időtől [math]t[/math], azonban a rövidebb jelölés érdekében ezt a továbbiakban nem írjuk ki.
A [math]\vec{J}[/math] áramsűrűség és a [math]\rho[/math] töltéssűrűség közötti összefüggést, az úgynevezett töltésmegmaradási tételt az első Maxwell-egyenlet (Ampere-törvény) jobb és bal oldalának divergenciájából kapjuk
[math]\nabla\cdot(\nabla\times\vec{H})=\nabla\cdot\biggl(\vec{J}+\frac{\partial D}{\partial t}\biggr)=\nabla\cdot\vec{J}+\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\vec{D}[/math].
A baloldal nullával egyenlő a következő azonosság értelmében [math]\nabla\cdot(\nabla\times\vec{v})\equiv 0[/math], minden [math]\vec{v}=\vec{v}(\vec{r},t)[/math] vektor esetében. A jobb oldal második tagja átírható az elektromos Gauss-törvény felhasználásával. Végül a töltésmegmaradás egyenlet formájában a következő lesz
[math]\nabla\cdot\vec{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0[/math].
Ez az egyenlet azt jelenti, hogy az áram és a töltés változása térben is időben függnek egymástól.
Integrális alak
A Maxwell-egyenletek integrális alakja könnyen származtatható a differenciális alakból a Stokes-tétel és a Gauss-tétel felasználásával. A Maxwell-egyenletek integrális alakban
[math]\oint_{\scriptstyle l}\vec{H}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=\int_{\scriptstyle A}\vec{J}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}+\frac{\partial}{\partial t}\int_{A}\vec{D}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}[/math]
Ampere-féle gerjesztési törvény,
[math]\oint_{l}\vec{E}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=-\frac{\partial}{\partial t}\int_{A}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}[/math]
Faraday-féle indukció törvény,
[math]\oint_{\scriptstyle A}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}=0[/math]
Fluxusmegmaradás törvénye,
[math]\oint_{\scriptstyle A}\vec{D}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A} = \iiint_{\scriptstyle \Omega}\rho(\vec{r},t)\text{d}\Omega[/math]
Gauss-törvény.
A Maxwell-egyenletek egyértelműen leírják a teret és érvényesek helytől, időtől és anyagtól függetlenül.
