1. lecke

Oktató Marcsa Dániel (óraadó) Előadás: Kedd, 13:05 - 14:45 (D201), 14:50 - 15:35 (D105) Fogadóóra: egyeztetés alapján

További oktatók: - Fogadóóra: -.

Elektromágneses terek alapjai

Az elektromágneses térelmélet adja az alapját több látszólag eltérő fizikai jelenségeknek. Ilyen jelenségek a hullámterjedés, a reflexió (visszaverődés), a fénytörés, a diffrackció és a szóródás. A következőkben áttekintjük az elektromágneses terek alajait.

Maxwell-egyenletek

Az elektromágneses terek viselkedését matematikailag a Maxwell-egyenletek írják le. Ezeknek az egyenleteknek van differenciális és integrális alakja egyaránt. Az időben változó elektromágneses terek esetében a következő Maxwell-egyenletek lesznek érvényesek.

Differenciális alak

$$\nabla\times\vec{H}(\vec{r},t)=\vec{J}(\vec{r},t)+\frac{\partial D(\vec{r},t)}{\partial t}$$	Ampere-féle gerjesztési törvény,
$$\nabla\times\vec{E}(\vec{r},t)=-\frac{\partial \vec{B}(\vec{r},t)}{\partial t}$$	Faraday-féle indukció törvény,
$$\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r},t)=0$$	Fluxusmegmaradás törvénye,
$$\nabla\cdot\vec{D}(\vec{r},t)=\rho(\vec{r},t)$$	Gauss-törvény,

ahol:

$$\vec{H}(\vec{r},t)$$ a mágneses térerősség [A/m];

$$\vec{E}(\vec{r},t)$$ az elektromos térerősség [V/m];

$$\vec{B}(\vec{r},t)$$ a mágneses fluxussűrűség [Wb/m $$^2$$ ];

$$\vec{D}(\vec{r},t)$$ az elektromos fluxussűrűség [C/m $$^2$$ ];

$$\vec{J}(\vec{r},t)$$ az áramsűrűség [A/m $$^2$$ ];

$$\rho(\vec{r},t)$$ a térfogati töltséssűrűség [C/m $$^3$$ ].

A térválzotók függnek a tértől $$\vec{r}$$ és az időtől $$t$$ , azonban a rövidebb jelölés érdekében ezt a továbbiakban nem írjuk ki.

A $$\vec{J}$$ áramsűrűség és a $$\rho$$ töltéssűrűség közötti összefüggést, az úgynevezett töltésmegmaradási tételt az első Maxwell-egyenlet (Ampere-törvény) jobb és bal oldalának divergenciájából kapjuk

$$\nabla\cdot(\nabla\times\vec{H})=\nabla\cdot\biggl(\vec{J}+\frac{\partial D}{\partial t}\biggr)=\nabla\cdot\vec{J}+\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\vec{D}$$ .

A baloldal nullával egyenlő a következő azonosság értelmében $$\nabla\cdot(\nabla\times\vec{v})\equiv 0$$ , minden $$\vec{v}=\vec{v}(\vec{r},t)$$ vektor esetében. A jobb oldal második tagja átírható az elektromos Gauss-törvény felhasználásával. Végül a töltésmegmaradás egyenlet formájában a következő lesz

$$\nabla\cdot\vec{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$$ .

Ez az egyenlet azt jelenti, hogy az áram és a töltés változása térben is időben függnek egymástól.

Integrális alak

A Maxwell-egyenletek integrális alakja könnyen származtatható a differenciális alakból a Stokes-tétel és a Gauss-tétel felasználásával. A Maxwell-egyenletek integrális alakban

$$\oint_{\scriptstyle l}\vec{H}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=\int_{\scriptstyle A}\vec{J}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}+\frac{\partial}{\partial t}\int_{A}\vec{D}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}$$	Ampere-féle gerjesztési törvény,
$$\oint_{l}\vec{E}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=-\frac{\partial}{\partial t}\int_{A}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}$$	Faraday-féle indukció törvény,
$$\oint_{\scriptstyle A}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}=0$$	Fluxusmegmaradás törvénye,
$$\oint_{\scriptstyle A}\vec{D}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A} = \int_{\scriptstyle \Omega}\rho(\vec{r},t)\text{d}\Omega$$	Gauss-törvény.

A Maxwell-egyenletek egyértelműen leírják a teret és érvényesek helytől, időtől és anyagtól függetlenül.