1. lecke

Instructor Marcsa Dániel (óraadó) Lectures: Monday, 14:50 - 16:25 (D201), 16:30 - 17:15 (D105) Office hours: by request

Teaching Assistants: - Office hours: -.

Elektromágneses terek alapjai

Az elektromágneses térelmélet adja az alapját több látszólag eltérő fizikai jelenségeknek. Ilyen jelenségek a hullámterjedés, a reflexió (visszaverődés), a fénytörés, a diffrackció és a szóródás. A következőkben áttekintjük az elektromágneses terek alajait.

Maxwell-egyenletek

Az elektromágneses terek viselkedését matematikailag a Maxwell-egyenletek írják le. Ezeknek az egyenleteknek van differenciális és integrális alakja egyaránt. Az időben változó elektromágneses terek esetében a következő Maxwell-egyenletek lesznek érvényesek.

Differenciális alak

James Clerk Maxwell (1831–1879).

$$\nabla\times\vec{H}(\vec{r},t)=\vec{J}(\vec{r},t)+\frac{\partial D(\vec{r},t)}{\partial t}$$	Ampere's law,
$$\nabla\times\vec{E}(\vec{r},t)=-\frac{\partial \vec{B}(\vec{r},t)}{\partial t}$$	Faraday's law,
$$\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r},t)=0$$	Gauss's law (magnetic),
$$\nabla\cdot\vec{D}(\vec{r},t)=\rho(\vec{r},t)$$	Gauss's law (electric),

ahol:

$$\vec{H}(\vec{r},t)$$ a mágneses térerősség [A/m];

$$\vec{E}(\vec{r},t)$$ az elektromos térerősség [V/m];

$$\vec{B}(\vec{r},t)$$ a mágneses fluxussűrűség [Wb/m $$^2$$ ];

$$\vec{D}(\vec{r},t)$$ az elektromos fluxussűrűség [C/m $$^2$$ ];

$$\vec{J}(\vec{r},t)$$ az áramsűrűség [A/m $$^2$$ ];

$$\rho(\vec{r},t)$$ a térfogati töltséssűrűség [C/m $$^3$$ ].

A térválzotók függnek a tértől

$$\vec{r}$$ és az időtől $$t$$ , azonban a rövidebb jelölés érdekében ezt a továbbiakban nem írjuk ki.

A

$$\vec{J}$$ áramsűrűség és a $$\rho$$ töltéssűrűség közötti összefüggést, az úgynevezett töltésmegmaradási tételt az első Maxwell-egyenlet (Ampere-törvény) jobb és bal oldalának divergenciájából kapjuk

$$\nabla\cdot(\nabla\times\vec{H})=\nabla\cdot\biggl(\vec{J}+\frac{\partial D}{\partial t}\biggr)=\nabla\cdot\vec{J}+\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\vec{D}$$ .

A baloldal nullával egyenlő a következő azonosság értelmében

$$\nabla\cdot(\nabla\times\vec{v})\equiv 0$$ , minden $$\vec{v}=\vec{v}(\vec{r},t)$$ vektor esetében. A jobb oldal második tagja átírható az elektromos Gauss-törvény felhasználásával. Végül a töltésmegmaradás egyenlet formájában a következő lesz

$$\nabla\cdot\vec{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$$ .

Ez az egyenlet azt jelenti, hogy az áram és a töltés változása térben is időben függnek egymástól.

Integrális alak

A Maxwell-egyenletek integrális alakja könnyen származtatható a differenciális alakból a Stokes-tétel és a Gauss-tétel felasználásával. A Maxwell-egyenletek integrális alakban

$$\oint_{\scriptstyle l}\vec{H}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=\int_{\scriptstyle A}\vec{J}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}+\frac{\partial}{\partial t}\int_{A}\vec{D}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}$$	Ampere's law,
$$\oint_{l}\vec{E}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=-\frac{\partial}{\partial t}\int_{A}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}$$	Faraday's law,
$$\oint_{\scriptstyle A}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}=0$$	Gauss's law (magnetic),
$$\oint_{\scriptstyle A}\vec{D}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A} = \int_{\scriptstyle V}\rho(\vec{r},t)\text{d}V$$	Gauss's law (electric).

A Maxwell-egyenletek egyértelműen leírják a teret és érvényesek helytől, időtől és anyagtól függetlenül.

Konstitúciós relációk

A térváltozók kapcsolatát leíró egyenletek a konstitúciós relációk. A konstitúciós relációk általánosan nemlineárisak, vagyis a permeabilitás

$$\mu$$ , a vezetőképesség $$\sigma$$ és a permittivitás $$\varepsilon$$ függ a megfelelő térváltozótól,

$$\mu=\mu(\vec{H},\vec{B})$$ ,

$$\sigma=\sigma(\vec{E},\vec{J})$$ ,

$$\varepsilon=\varepsilon(\vec{E},\vec{D})$$ .

A fenti egyenletek más alakban

$$\vec{B}=\vec{B}(\vec{H})$$ ,

$$\vec{J}=\vec{J}(\vec{E})$$ ,

$$\vec{D}=\vec{D}(\vec{E})$$ ,

ahol

$$\vec{B}(\cdot)$$ , $$\vec{J}(\cdot)$$ és $$\vec{D}(\cdot)$$ operátorok.

Ha az anyag tulajdonsága független a tértől

$$\vec{r}$$ , akkor homogénnek nevezzük, máskülönben inhomogén, $$\mu=\mu(\vec{r})$$ , $$\sigma=\sigma(\vec{r})$$ , $$\varepsilon=\varepsilon(\vec{r})$$ . A konstituciós reláció függhet a gerjesztés frekvenciájától is, $$\mu=\mu(f)$$ , $$\sigma=\sigma(f)$$ , $$\varepsilon=\varepsilon(f)$$ . Ha a konstituciós reláció paraméterei függnek a térváltozók irányától, akkor az anyag anizotrop, máskülönben izotrop. Anizotrop esetben a permeabilitás, a vezetőképesség és a permittivitás tenzor, $$\vec{B}=[\mu]\vec{H}$$ , $$\vec{J}=[\sigma]\vec{E}$$ , $$\vec{D}=[\varepsilon]\vec{E}$$ , mint például

$$[\mu]=\begin{bmatrix} \mu_{xx} & \mu_{xy} & \mu_{xz} \\ \mu_{yx} & \mu_{yy} & \mu_{yz} \\ \mu_{zx} & \mu_{zy} & \mu_{zz} \end{bmatrix}$$ .

A legáltalánosabb esetben, a konstutúciós relációk függnek az összes fentebb említett változótól, például

$$\vec{B}=\mathfrak{B}\{\vec{H},\vec{r},f\}$$ .

Határ- és peremfeltételek

Maxwell's equations along with the constitutive relations my be used to obtain general solution for the electromagnetic problems. To obtain unique solutions, we must enforce the boundary conditions at the periphery of the device. Additionally, in a mixed media device (

$$\mu_{1}; \mu_{2}; \varepsilon_{1}; \varepsilon_{2}; \sigma_{1}; \sigma_{2}$$ ), continuity conditions at the interface of two media should be satisfied in order to ensure continuity of fields across the interface.

Interface Conditions

For the behavior of electric and magnetic field quantities along the interface.

The interface conditions between two media, as shown in figure, prescribe continutity for the tangential component of the electric field intensity,

$$\vec{n}\times\left(\vec{E}_{2} - \vec{E}_{1} = \vec{0}\right)$$ .

The surface current density

$$\vec{K}$$ relates to the tangential component of the magnetic field intensity vector,

$$\vec{n}\times\left(\vec{H}_{2} - \vec{H}_{1}\right) = \vec{K}$$ .

The surface current density

$$\vec{K}$$ is flowing on the surface tangentially to the normal vector unit $$\vec{n}$$ . If there is no surface current density on the interface, the tangential component of the magnetic field intensity is continuous,

$$\vec{n}\times\left(\vec{H}_{2} - \vec{H}_{1}\right) = \vec{0}$$ .

On the interface of different dielectric materials the normal component of the electric flux density is continuous only if there is no surface charge,

$$\rho_{\scriptstyle A} = 0$$ ,

$$\vec{n}\cdot\left(\vec{D}_{2} - \vec{D}_{1}\right) = 0$$ ,

otherwise the normal component of the electric flux density has a jump on the interface,

$$\vec{n}\cdot\left(\vec{D}_{2} - \vec{D}_{1}\right) = \rho_{\scriptstyle A}$$ .

On the interface of different magnetic materials, the normal component of the magnetic flux density must be continuous,

$$\vec{n}\cdot\left(\vec{B}_{2} - \vec{B}_{1}\right) = 0$$ .

The charge conservation law yields the continuity of the normal component of the conducting current in the case of eddy current field,

$$\vec{n}\cdot\left(\vec{J}_{2} - \vec{J}_{1}\right) = 0$$ ,

or generally

$$\vec{n}\cdot\left(\vec{D}_{2} - \vec{D}_{1}\right) + \vec{n}\cdot\left(\frac{\partial \vec{D}_{2}}{\partial t}-\frac{\partial \vec{D}_{1}}{\partial t}\right) = 0$$ ,

is valid on the interface.

Boundary Conditions

Elektromágneses terek - Sztatikus terek

In the simplest case the time variation of the field quantities can be neglected, i.e.

$$\partial/\partial t = 0$$ . Electrostatic fields are usually produced by static electric charges, whereas static magnetic fields are due to the motion of electric charges with uniform velocity (direct current).

Sztatikus mágneses tér

The basic laws of static magnetic fields are Ampere's law

$$\nabla\times\vec{H}(\vec{r},t)=\vec{J}(\vec{r},t)+\frac{\partial D(\vec{r},t)}{\partial t}\qquad$$ or $$\qquad\oint_{\scriptstyle l}\vec{H}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=\int_{\scriptstyle A}\vec{J}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}$$ ,

which is related to Biot-Savart law, and the law of conservation of magnetic flux (also calles Gauss's law for static magnetics)

$$\nabla\cdot\vec{B} = 0\qquad$$ or $$\qquad\oint_{\scriptstyle A}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}=0$$ .

The vector fields

$$\vec{B}$$ and $$\vec{H}$$ are related through the permeability $$\mu = \mu_{0}\mu_{r}$$ (in henries/meter) of the media as $$\vec{B}=\mu\vec{H}$$ , where $$\mu_{0} = 4\pi\cdot10^{-7}\tfrac{\text{H}}{\text{m}}$$ is the permeability of vacuum, and $$\mu_{r}$$ is the relative permeability. Also, $$\vec{J}$$ is related to $$\vec{E}$$ through the conductivity $$\sigma$$ (in siemens/meter) of the medium as $$\vec{J}=\sigma\vec{E}$$ .

In terms of the magnetic vector potential

$$\vec{A}$$ (in weber/meter)

$$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$$ ,

because of identity

$$\nabla\cdot\left(\nabla\times\vec{v}\right)\equiv\vec{0}$$ .

Combining Ampere's law, constitutive relation and expression of

$$\vec{B}$$ gives

$$\nabla\times\left(\frac{1}{\mu}\nabla\times\vec{A}\right)=\vec{J}$$ .

Elektrosztatikus tér

The two fundamental laws governing these electrostatic fields are Gauss's law,

$$\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{\scriptstyle A}\qquad$$ or $$\qquad\oint_{\scriptstyle A}\vec{D}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A} = \int_{\scriptstyle V}\rho(\vec{r},t)\text{d}V$$ ,

which is a direct consequency of Coulomb's force law, and the law describing electrostatic fields as conservative,

$$\nabla\times\vec{E}=\vec{0}\qquad$$ or $$\qquad\oint_{l}\vec{E}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=\vec{0}$$ .

The vector fields

$$\vec{D}$$ and $$\vec{E}$$ are related as $$\vec{D}=\varepsilon\vec{E}$$ , where $$\varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}$$ is the dielectric permittivity (in farad/meter) of the medium, where $$\varepsilon_{0} = 8.854\cdot10^{-12}\tfrac{\text{F}}{\text{m}}$$ is the permittivity of vacuum and $$\varepsilon_{r}$$ is the relative permittivity. In terms of the electric scalar potential $$V$$ (in volts), $$\vec{E}$$ is expressed as

$$\vec{E}=-\nabla V\qquad$$ or $$\qquad V = -\int\vec{E}\cdot\text{d}\vec{l}$$ ,

because of identity

$$\nabla\times\left(\nabla V\right)\equiv\vec{0}$$ .

Combining Gauss's law, constitutive relation and expression of

$$\vec{E}$$ gives Poisson's equation

$$\nabla\cdot\varepsilon\nabla V=-\rho_{\scriptstyle A}$$ ,

or, if

$$\rho_{\scriptstyle A} = 0$$ , equation becomes Laplace's equation

$$\nabla\cdot\varepsilon\nabla V=0$$ .