1. lecke

Oktató Marcsa Dániel (óraadó) Előadás: Kedd, 13:05 - 14:45 (D201), 14:50 - 15:35 (D105) Fogadóóra: egyeztetés alapján

További oktatók: - Fogadóóra: -.

Elektromágneses terek alapjai

Az elektromágneses térelmélet adja az alapját több látszólag eltérő fizikai jelenségeknek. Ilyen jelenségek a hullámterjedés, a reflexió (visszaverődés), a fénytörés, a diffrakció és a szóródás. A következőkben áttekintjük az elektromágneses terek alapjait.

Maxwell-egyenletek

Az elektromágneses terek viselkedését matematikailag a Maxwell-egyenletek írják le. Ezeknek az egyenleteknek van differenciális és integrális alakja egyaránt. Az időben változó elektromágneses terek esetében a következő Maxwell-egyenletek lesznek érvényesek.

Differenciális alak

James Clerk Maxwell (1831–1879).

$$\nabla\times\vec{H}(\vec{r},t)=\vec{J}(\vec{r},t)+\frac{\partial D(\vec{r},t)}{\partial t}$$	Ampere-féle gerjesztési törvény,
$$\nabla\times\vec{E}(\vec{r},t)=-\frac{\partial \vec{B}(\vec{r},t)}{\partial t}$$	Faraday-féle indukció törvény,
$$\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r},t)=0$$	Fluxusmegmaradásás törvénye,
$$\nabla\cdot\vec{D}(\vec{r},t)=\rho(\vec{r},t)$$	Gauss-törvény,

ahol:

$$\vec{H}(\vec{r},t)$$ a mágneses térerősség [A/m];

$$\vec{E}(\vec{r},t)$$ az elektromos térerősség [V/m];

$$\vec{B}(\vec{r},t)$$ a mágneses fluxussűrűség [Wb/m $$^2$$ ];

$$\vec{D}(\vec{r},t)$$ az elektromos fluxussűrűség [C/m $$^2$$ ];

$$\vec{J}(\vec{r},t)$$ az áramsűrűség [A/m $$^2$$ ];

$$\rho(\vec{r},t)$$ a térfogati töltséssűrűség [C/m $$^3$$ ].

A térváltozók függenek a tértől $$\vec{r}$$ és az időtől $$t$$ , azonban a rövidebb jelölés érdekében ezt a továbbiakban nem írjuk ki.

A $$\vec{J}$$ áramsűrűség és a $$\rho$$ töltéssűrűség közötti összefüggést, az úgynevezett töltésmegmaradási tételt az első Maxwell-egyenlet (Ampere-törvény) jobb és bal oldalának divergenciájából kapjuk

$$\nabla\cdot(\nabla\times\vec{H})=\nabla\cdot\biggl(\vec{J}+\frac{\partial D}{\partial t}\biggr)=\nabla\cdot\vec{J}+\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\vec{D}$$ .

A baloldal nullával egyenlő a következő azonosság értelmében $$\nabla\cdot(\nabla\times\vec{v})\equiv 0$$ , minden $$\vec{v}=\vec{v}(\vec{r},t)$$ vektor esetében. A jobb oldal második tagja átírható az elektromos Gauss-törvény felhasználásával. Végül a töltésmegmaradás egyenlet formájában a következő lesz

$$\nabla\cdot\vec{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$$ .

Ez az egyenlet azt jelenti, hogy az áram és a töltés változása térben is időben függenek egymástól.

Integrális alak

A Maxwell-egyenletek integrális alakja könnyen származtatható a differenciális alakból a Stokes-tétel és a Gauss-tétel felhasználásával. A Maxwell-egyenletek integrális alakban

$$\oint_{\scriptstyle l}\vec{H}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=\int_{\scriptstyle A}\vec{J}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}+\frac{\partial}{\partial t}\int_{A}\vec{D}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}$$	Ampere-féle gerjesztési törvény,
$$\oint_{l}\vec{E}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=-\frac{\partial}{\partial t}\int_{A}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}$$	Faraday-féle indukció törvény,
$$\oint_{\scriptstyle A}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}=0$$	Gauss's law (magnetic),
$$\oint_{\scriptstyle A}\vec{D}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A} = \int_{\scriptstyle V}\rho(\vec{r},t)\text{d}V$$	Gauss's law (electric).

A Maxwell-egyenletek egyértelműen leírják a teret és érvényesek helytől, időtől és anyagtól függetlenül.

Konstitúciós relációk

A térváltozók kapcsolatát leíró egyenletek a konstitúciós relációk. A konstitúciós relációk általánosan nemlineárisak, vagyis a permeabilitás $$\mu$$ , a vezetőképesség $$\sigma$$ és a permittivitás $$\varepsilon$$ függ a megfelelő térváltozótól,

$$\mu=\mu(\vec{H},\vec{B})$$ ,

$$\sigma=\sigma(\vec{E},\vec{J})$$ ,

$$\varepsilon=\varepsilon(\vec{E},\vec{D})$$ .

A fenti egyenletek más alakban

$$\vec{B}=\vec{B}(\vec{H})$$ ,

$$\vec{J}=\vec{J}(\vec{E})$$ ,

$$\vec{D}=\vec{D}(\vec{E})$$ ,

ahol $$\vec{B}(\cdot)$$ , $$\vec{J}(\cdot)$$ és $$\vec{D}(\cdot)$$ operátorok.

Ha az anyag tulajdonsága független a tértől $$\vec{r}$$ , akkor homogénnek nevezzük, máskülönben inhomogén, $$\mu=\mu(\vec{r})$$ , $$\sigma=\sigma(\vec{r})$$ , $$\varepsilon=\varepsilon(\vec{r})$$ . A konstitúciós reláció függhet a gerjesztés frekvenciájától is, $$\mu=\mu(f)$$ , $$\sigma=\sigma(f)$$ , $$\varepsilon=\varepsilon(f)$$ . Ha a konstitúciós reláció paraméterei függenek a térváltozók irányától, akkor az anyag anizotrop, máskülönben izotrop. Anizotrop esetben a permeabilitás, a vezetőképesség és a permittivitás tenzor, $$\vec{B}=[\mu]\vec{H}$$ , $$\vec{J}=[\sigma]\vec{E}$$ , $$\vec{D}=[\varepsilon]\vec{E}$$ , mint például

$$[\mu]=\begin{bmatrix} \mu_{xx} & \mu_{xy} & \mu_{xz} \\ \mu_{yx} & \mu_{yy} & \mu_{yz} \\ \mu_{zx} & \mu_{zy} & \mu_{zz} \end{bmatrix}$$ .

A legáltalánosabb esetben, a konstitúciós relációk függenek az összes fentebb említett változótól, például

$$\vec{B}=\mathfrak{B}\{\vec{H},\vec{r},f\}$$ .

Határ- és peremfeltételek

A Maxwell-egyenletek a konstitúciós relációkkal együtt adják egy elektromágneses feladat megoldását. De ahhoz, hogy egyértelmű megoldást kapjunk, peremfeltételeket kell alkalmaznunk a feladat külső határára. Emellett, olyan feladatnál, ahol eltérő tulajdonsággal rendelkező anyag tölti ki a teret ( $$\mu_{1}; \mu_{2}; \varepsilon_{1}; \varepsilon_{2}; \sigma_{1}; \sigma_{2}$$ ), a térváltozóknak eleget kell tenniük a folytonossági feltételeknek a két anyag közötti határon.

Határfeltételek

Az elektromos és mágneses tér két anyag közötti határon.

Két anyag közötti határfeltételen az elektromos térerősség tangenciálisa komponensére írunk elő feltételt,

$$\vec{n}\times\left(\vec{E}_{2} - \vec{E}_{1} = \vec{0}\right)$$ .

A mágneses térerősség vektor tangenciális összetevője a $$\vec{K}$$ felületi áramsűrűséggel van összefüggésben,

$$\vec{n}\times\left(\vec{H}_{2} - \vec{H}_{1}\right) = \vec{K}$$ .

A $$\vec{K}$$ felületi áramsűrűség a $$\vec{n}$$ normális irányú egységvektorra merőlegesen (tangenciálisan) folyik a felületen. Ha nincs felületi áramsűrűség a két anyag határán, a mágneses térerősség tangenciális irányú komponensének folytonosnak kell lennie,

$$\vec{n}\times\left(\vec{H}_{2} - \vec{H}_{1}\right) = \vec{0}$$ .

Két különböző dielektrikum határán a $$\vec{D}$$ elektromos fluxussűrűség normális irányú komponense akkor lesz folytonos, ha $$\rho_{\scriptstyle A} = 0$$ , vagyis nincs felületi töltéssűrűség a határfelületen,

$$\vec{n}\cdot\left(\vec{D}_{2} - \vec{D}_{1}\right) = 0$$ ,

máskülönben a fluxussűrűség normális irányú komponense ugorhat a határfelületen,

$$\vec{n}\cdot\left(\vec{D}_{2} - \vec{D}_{1}\right) = \rho_{\scriptstyle A}$$ .

Különböző mágneses anyagok találkozásának határán a $$\vec{B}$$ mágneses fluxussűrűség normális irányú komponensének folytonosnak kell lennie,

$$\vec{n}\cdot\left(\vec{B}_{2} - \vec{B}_{1}\right) = 0$$ .

A töltésmegmaradás törvényének értelmében örvényáramú esetben, a $$\vec{J}$$ vezetési áram normális irányú komponense folytonos,

$$\vec{n}\cdot\left(\vec{J}_{2} - \vec{J}_{1}\right) = 0$$ ,

vagy általános alakban

$$\vec{n}\cdot\left(\vec{D}_{2} - \vec{D}_{1}\right) + \vec{n}\cdot\left(\frac{\partial \vec{D}_{2}}{\partial t}-\frac{\partial \vec{D}_{1}}{\partial t}\right) = 0$$ ,

kell teljesüljön az anyagok közötti határon.

Peremfeltételek

A vizsgált feladat külső peremén peremfeltételeknek kell teljesülniük, hogy a feladat egyértelmű megoldását kapjuk. Ezeket a kényszerek Dirichlet típusú és Neumann típusú, illetve homogén and inhomogén peremfeltételek lehetnek. Ezeket a feltételeket a Laplace-egyenlet megoldásán keresztül mutatom be

$$\nabla\cdot\varepsilon\nabla V=0$$ ,

ahol a $$V$$ függvény a teret vagy a potenciált jelenti. A homogén Dirichlet peremfeltétel a következőt jelenti

$$V(\vec{r})=0$$ ,

a feladat külső felületén. Tökéletes vezető esetében ez a feltétel $$E_{\text{tan}}=0$$ lesz.

A homogén Neumann peremfeltételt a következőképpen adjuk meg

$$\frac{\partial V(\vec{r})}{\partial n}=\nabla V \cdot \vec{n} = 0$$ ,

a feladat külső felületére, vagyis $$V$$ a külső felület normális irányú komponens szerint vett deriváltja nulla kell legyen a felületen. Ez a feltétel tökéletes vezető esetében azt jelenti, hogy $$\partial H/\partial n = 0$$ , mivel a $$H$$ normális irányra vett deriváltja arányos az elektromos térerősség tangenciális irányú összetevőjével. Ez előzőek alapján, felírhatjuk a peremfeltételek inhomogén változatát, amit akkor kapunk, ha a jobb oldal nem zérus, például

$$V(\vec{r})=\text{konstans}$$ ;

$$\frac{\partial V(\vec{r})}{\partial n}=\nabla V \cdot \vec{n} = \text{konstans}$$ .

Elektromágneses terek - Sztatikus terek

A legegyszerűbb esetben a térváltozók idő szerinti változását elhanyagoljuk, azaz $$\partial/\partial t = 0$$ . Az elektrosztatikus teret általában valamilyen nyugvó töltéssűrűség hozza létre, miközben a sztatikus mágneses teret az állandó sebességgel mozgó töltések (egyenáram) hozzák létre.

Sztatikus mágneses tér

A sztatikus mágneses tér alapösszefüggései az Ampere-féle gerjesztési törvény

$$\nabla\times\vec{H}(\vec{r},t)=\vec{J}(\vec{r},t)+\frac{\partial D(\vec{r},t)}{\partial t}\qquad$$ vagy $$\qquad\oint_{\scriptstyle l}\vec{H}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=\int_{\scriptstyle A}\vec{J}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}$$ ,

ami összefügg a Biot-Savart törvénnyel, és a mágneses fluxussűrűség megmaradásának törvénye (vagy nevezhetjük mágneses Gauss törvénynek)

$$\nabla\cdot\vec{B} = 0\qquad$$ vagy $$\qquad\oint_{\scriptstyle A}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}=0$$ .

A $$\vec{B}$$ és $$\vec{H}$$ vektorterek között a kapcsolatot a $$\mu = \mu_{0}\mu_{r}$$ (H/m) permeabilitás teremti meg a következőképpen $$\vec{B}=\mu\vec{H}$$ , ahol $$\mu_{0} = 4\pi\cdot10^{-7}\tfrac{\text{H}}{\text{m}}$$ a vákuum permeabilitása, és $$\mu_{r}$$ a relatív permeabilitás. A $$\vec{J}$$ és $$\vec{E}$$ között a $$\sigma$$ (S/m) vezetőképesség teremt kapcsolatot, mint $$\vec{J}=\sigma\vec{E}$$ .

Az $$\vec{A}$$ mágneses vektorpotenciált bevezetve (Wb/m), a mágneses térerősséget kifejezhetjük, mint

$$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$$ ,

a $$\nabla\cdot\left(\nabla\times\vec{v}\right)\equiv\vec{0}$$ azonosság miatt.

Az Ampere-féle gerjesztési törvény, a konstitúciós reláció és a $$\vec{B}$$ összefüggéséből a következő egyenletet kapjuk

$$\nabla\times\left(\frac{1}{\mu}\nabla\times\vec{A}\right)=\vec{J}$$ .

Elektrosztatikus tér

Az elektrosztatikus tér két alapösszefüggése a Gauss törvény,

$$\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{\scriptstyle A}\qquad$$ vagy $$\qquad\oint_{\scriptstyle A}\vec{D}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A} = \int_{\scriptstyle V}\rho(\vec{r},t)\text{d}V$$ ,

ami közvetlen következménye a Coulomb törvénynek, és a következő összefüggés,

$$\nabla\times\vec{E}=\vec{0}\qquad$$ vagy $$\qquad\oint_{l}\vec{E}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=\vec{0}$$ ,

amelyet a Faraday-féle indukciótörvényből kapunk.

A $$\vec{D}$$ és az $$\vec{E}$$ vektortér között a kapcsolatot a $$\vec{D}=\varepsilon\vec{E}$$ összefüggés adja meg, ahol $$\varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}$$ a permittivitás (F/m), az $$\varepsilon_{0} = 8.854\cdot10^{-12}\tfrac{\text{F}}{\text{m}}$$ a vákuum permittivitás és az $$\varepsilon_{r}$$ a relatív permittivitás. Az $$\vec{E}$$ elektromos térerősség kifejezhető a $$V$$ elektromos skalárpotenciállal (V)

$$\vec{E}=-\nabla V\qquad$$ vagy $$\qquad V = -\int\vec{E}\cdot\text{d}\vec{l}$$ ,

a $$\nabla\times\left(\nabla V\right)\equiv\vec{0}$$ összefüggés értelmében.

A Gauss törvény, a konstitúciós reláció és az $$\vec{E}$$ térerősség kifejezésének felhasználásával a Poisson-egyenletet kapjuk

$$\nabla\cdot\varepsilon\nabla V=-\rho_{\scriptstyle A}$$ ,

vagy, ha $$\rho_{\scriptstyle A} = 0$$ , akkor a Laplace-egyenletet kapjuk

$$\nabla\cdot\varepsilon\nabla V=0$$ .