1. lecke

Elektromágneses terek alapjai / Sztatikus mágneses és elektrosztatikus tér
Oktató Marcsa Dániel (óraadó) Előadás: - Fogadóóra: egyeztetés alapján	További oktatók: - Fogadóóra: -.

Elektromágneses terek alapjai

Az elektromágneses térelmélet adja az alapját több látszólag eltérő fizikai jelenségeknek. Ilyen jelenségek a hullámterjedés, a reflexió (visszaverődés), a fénytörés, a diffrakció és a szóródás. A következőkben áttekintjük az elektromágneses terek alapjait.

Maxwell-egyenletek

Az elektromágneses terek viselkedését matematikailag a Maxwell-egyenletek írják le. Ezeknek az egyenleteknek van differenciális és integrális alakja egyaránt. Az időben változó elektromágneses terek esetében a következő Maxwell-egyenletek lesznek érvényesek.

Differenciális alak

James Clerk Maxwell (1831–1879).

[math]\nabla\times\vec{H}(\vec{r},t)=\vec{J}(\vec{r},t)+\frac{\partial D(\vec{r},t)}{\partial t}[/math]	Ampere-féle gerjesztési törvény,
[math]\nabla\times\vec{E}(\vec{r},t)=-\frac{\partial \vec{B}(\vec{r},t)}{\partial t}[/math]	Faraday-féle indukció törvény,
[math]\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r},t)=0[/math]	Fluxusmegmaradás törvénye,
[math]\nabla\cdot\vec{D}(\vec{r},t)=\rho(\vec{r},t)[/math]	Gauss-törvény,

ahol:

[math]\vec{H}(\vec{r},t)[/math] a mágneses térerősség [A/m];

[math]\vec{E}(\vec{r},t)[/math] az elektromos térerősség [V/m];

[math]\vec{B}(\vec{r},t)[/math] a mágneses fluxussűrűség [Wb/m[math]^2[/math]];

[math]\vec{D}(\vec{r},t)[/math] az elektromos fluxussűrűség [C/m[math]^2[/math]];

[math]\vec{J}(\vec{r},t)[/math] az áramsűrűség [A/m[math]^2[/math]];

[math]\rho(\vec{r},t)[/math] a térfogati töltséssűrűség [C/m[math]^3[/math]].

A térváltozók függenek a tértől [math]\vec{r}[/math] és az időtől [math]t[/math], azonban a rövidebb jelölés érdekében ezt a továbbiakban nem írjuk ki.

A [math]\vec{J}[/math] áramsűrűség és a [math]\rho[/math] töltéssűrűség közötti összefüggést, az úgynevezett töltésmegmaradási tételt az első Maxwell-egyenlet (Ampere-törvény) jobb és bal oldalának divergenciájából kapjuk

[math]\nabla\cdot(\nabla\times\vec{H})=\nabla\cdot\biggl(\vec{J}+\frac{\partial D}{\partial t}\biggr)=\nabla\cdot\vec{J}+\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\vec{D}[/math].

A baloldal nullával egyenlő a következő azonosság értelmében [math]\nabla\cdot(\nabla\times\vec{v})\equiv 0[/math], minden [math]\vec{v}=\vec{v}(\vec{r},t)[/math] vektor esetében. A jobb oldal második tagja átírható az elektromos Gauss-törvény felhasználásával. Végül a töltésmegmaradás egyenlet formájában a következő lesz

[math]\nabla\cdot\vec{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0[/math].

Ez az egyenlet azt jelenti, hogy az áram és a töltés változása térben is időben függenek egymástól.

Integrális alak

A Maxwell-egyenletek integrális alakja könnyen származtatható a differenciális alakból a Stokes-tétel és a Gauss-tétel felhasználásával. A Maxwell-egyenletek integrális alakban

[math]\oint_{\scriptstyle l}\vec{H}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=\int_{\scriptstyle A}\vec{J}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}+\frac{\partial}{\partial t}\int_{A}\vec{D}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}[/math]	Ampere-féle gerjesztési törvény,
[math]\oint_{l}\vec{E}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=-\frac{\partial}{\partial t}\int_{A}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}[/math]	Faraday-féle indukció törvény,
[math]\oint_{\scriptstyle A}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}=0[/math]	Fluxusmegmaradás törvénye,
[math]\oint_{\scriptstyle A}\vec{D}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A} = \int_{\scriptstyle V}\rho(\vec{r},t)\text{d}V[/math]	Gauss-törvény.

A Maxwell-egyenletek egyértelműen leírják a teret és érvényesek helytől, időtől és anyagtól függetlenül.

Konstitúciós relációk

A térváltozók kapcsolatát leíró egyenletek a konstitúciós relációk. A konstitúciós relációk általánosan nemlineárisak, vagyis a permeabilitás [math]\mu[/math], a vezetőképesség [math]\sigma[/math] és a permittivitás [math]\varepsilon[/math] függ a megfelelő térváltozótól,

[math]\mu=\mu(\vec{H},\vec{B})[/math],

[math]\sigma=\sigma(\vec{E},\vec{J})[/math],

[math]\varepsilon=\varepsilon(\vec{E},\vec{D})[/math].

A fenti egyenletek más alakban

[math]\vec{B}=\mathfrak{B}(\vec{H})[/math],

[math]\vec{J}=\mathfrak{J}(\vec{E})[/math],

[math]\vec{D}=\mathfrak{D}(\vec{E})[/math],

ahol [math]\mathfrak{B}(\cdot)[/math], [math]\mathfrak{J}(\cdot)[/math] és [math]\mathfrak{D}(\cdot)[/math] operátorok.

Ha az anyag tulajdonsága független a tértől [math]\vec{r}[/math], akkor homogénnek nevezzük, máskülönben inhomogén, [math]\mu=\mu(\vec{r})[/math], [math]\sigma=\sigma(\vec{r})[/math], [math]\varepsilon=\varepsilon(\vec{r})[/math]. A konstitúciós reláció függhet a gerjesztés frekvenciájától is, [math]\mu=\mu(f)[/math], [math]\sigma=\sigma(f)[/math], [math]\varepsilon=\varepsilon(f)[/math]. Ha a konstitúciós reláció paraméterei függenek a térváltozók irányától, akkor az anyag anizotrop, máskülönben izotrop. Anizotrop esetben a permeabilitás, a vezetőképesség és a permittivitás tenzor, [math]\vec{B}=[\mu]\vec{H}[/math], [math]\vec{J}=[\sigma]\vec{E}[/math], [math]\vec{D}=[\varepsilon]\vec{E}[/math], mint például

[math][\mu]=\begin{bmatrix} \mu_{xx} & \mu_{xy} & \mu_{xz} \\ \mu_{yx} & \mu_{yy} & \mu_{yz} \\ \mu_{zx} & \mu_{zy} & \mu_{zz} \end{bmatrix}[/math].

A legáltalánosabb esetben, a konstitúciós relációk függenek az összes fentebb említett változótól, például

[math]\vec{B}=\mathfrak{B}\{\vec{H},\vec{r},f\}[/math].

Határ- és peremfeltételek

A Maxwell-egyenletek a konstitúciós relációkkal együtt adják egy elektromágneses feladat megoldását. De ahhoz, hogy egyértelmű megoldást kapjunk, peremfeltételeket kell alkalmaznunk a feladat külső határára. Emellett, olyan feladatnál, ahol eltérő tulajdonsággal rendelkező anyag tölti ki a teret ([math]\mu_{1}; \mu_{2}; \varepsilon_{1}; \varepsilon_{2}; \sigma_{1}; \sigma_{2}[/math]), a térváltozóknak eleget kell tenniük a folytonossági feltételeknek a két anyag közötti határon.

Határfeltételek

Az elektromos és mágneses tér két anyag közötti határon.

Két anyag közötti határfeltételen az elektromos térerősség tangenciálisa komponensére írunk elő feltételt,

[math]\vec{n}\times\left(\vec{E}_{2} - \vec{E}_{1}\right) = \vec{0}[/math].

A mágneses térerősség vektor tangenciális összetevője a [math]\vec{K}[/math] felületi áramsűrűséggel van összefüggésben,

[math]\vec{n}\times\left(\vec{H}_{2} - \vec{H}_{1}\right) = \vec{K}[/math].

A [math]\vec{K}[/math] felületi áramsűrűség a [math]\vec{n}[/math] normális irányú egységvektorra merőlegesen (tangenciálisan) folyik a felületen. Ha nincs felületi áramsűrűség a két anyag határán, a mágneses térerősség tangenciális irányú komponensének folytonosnak kell lennie,

[math]\vec{n}\times\left(\vec{H}_{2} - \vec{H}_{1}\right) = \vec{0}[/math].

Két különböző dielektrikum határán a [math]\vec{D}[/math] elektromos fluxussűrűség normális irányú komponense akkor lesz folytonos, ha [math]\rho_{\scriptstyle A} = 0[/math], vagyis nincs felületi töltéssűrűség a határfelületen,

[math]\vec{n}\cdot\left(\vec{D}_{2} - \vec{D}_{1}\right) = 0[/math],

máskülönben a fluxussűrűség normális irányú komponense ugorhat a határfelületen,

[math]\vec{n}\cdot\left(\vec{D}_{2} - \vec{D}_{1}\right) = \rho_{\scriptstyle A}[/math].

Különböző mágneses anyagok találkozásának határán a [math]\vec{B}[/math] mágneses fluxussűrűség normális irányú komponensének folytonosnak kell lennie,

[math]\vec{n}\cdot\left(\vec{B}_{2} - \vec{B}_{1}\right) = 0[/math].

A töltésmegmaradás törvényének értelmében örvényáramú esetben, a [math]\vec{J}[/math] vezetési áram normális irányú komponense folytonos,

[math]\vec{n}\cdot\left(\vec{J}_{2} - \vec{J}_{1}\right) = 0[/math],

vagy általános alakban

[math]\vec{n}\cdot\left(\vec{D}_{2} - \vec{D}_{1}\right) + \vec{n}\cdot\left(\frac{\partial \vec{D}_{2}}{\partial t}-\frac{\partial \vec{D}_{1}}{\partial t}\right) = 0[/math],

kell teljesüljön az anyagok közötti határon.

Peremfeltételek

A vizsgált feladat külső peremén peremfeltételeknek kell teljesülniük, hogy a feladat egyértelmű megoldását kapjuk. Ezeket a kényszerek Dirichlet típusú és Neumann típusú, illetve homogén és inhomogén peremfeltételek lehetnek. Ezeket a feltételeket a Laplace-egyenlet megoldásán keresztül mutatom be

[math]\nabla\cdot\varepsilon\nabla V=0[/math],

ahol a [math]V[/math] függvény a teret vagy a potenciált jelenti. A homogén Dirichlet peremfeltétel a következőt jelenti

[math]V(\vec{r})=0[/math],

a feladat külső felületén. Tökéletes vezető esetében ez a feltétel [math]E_{\text{tan}}=0[/math] lesz.

A homogén Neumann peremfeltételt a következőképpen adjuk meg

[math]\frac{\partial V(\vec{r})}{\partial n}=\nabla V \cdot \vec{n} = 0[/math],

a feladat külső felületére, vagyis [math]V[/math] a külső felület normális irányú komponens szerint vett deriváltja nulla kell legyen a felületen. Ez a feltétel tökéletes vezető esetében azt jelenti, hogy [math]\partial H/\partial n = 0[/math], mivel a [math]H[/math] normális irányra vett deriváltja arányos az elektromos térerősség tangenciális irányú összetevőjével. Ez előzőek alapján, felírhatjuk a peremfeltételek inhomogén változatát, amit akkor kapunk, ha a jobb oldal nem zérus, például

[math]V(\vec{r})=\text{konstans}[/math];

[math]\frac{\partial V(\vec{r})}{\partial n}=\nabla V \cdot \vec{n} = \text{konstans}[/math].

Elektromágneses terek - Sztatikus terek

A legegyszerűbb esetben a térváltozók idő szerinti változását elhanyagoljuk, azaz [math]\partial/\partial t = 0[/math]. Az elektrosztatikus teret általában valamilyen nyugvó töltéssűrűség hozza létre, miközben a sztatikus mágneses teret az állandó sebességgel mozgó töltések (egyenáram) hozzák létre.

Sztatikus mágneses tér

A sztatikus mágneses tér alapösszefüggései az Ampere-féle gerjesztési törvény

[math]\nabla\times\vec{H}(\vec{r},t)=\vec{J}(\vec{r},t)\qquad[/math] vagy [math]\qquad\oint_{\scriptstyle l}\vec{H}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=\int_{\scriptstyle A}\vec{J}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}[/math],

ami összefügg a Biot-Savart törvénnyel, és a mágneses fluxussűrűség megmaradásának törvénye (vagy nevezhetjük mágneses Gauss törvénynek)

[math]\nabla\cdot\vec{B} = 0\qquad[/math] vagy [math]\qquad\oint_{\scriptstyle A}\vec{B}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A}=0[/math].

A [math]\vec{B}[/math] és [math]\vec{H}[/math] vektorterek között a kapcsolatot a [math]\mu = \mu_{0}\mu_{r}[/math] (H/m) permeabilitás teremti meg a következőképpen [math]\vec{B}=\mu\vec{H}[/math], ahol [math]\mu_{0} = 4\pi\cdot10^{-7}\tfrac{\text{H}}{\text{m}}[/math] a vákuum permeabilitása, és [math]\mu_{r}[/math] a relatív permeabilitás.

Az [math]\vec{A}[/math] mágneses vektorpotenciált bevezetve (Wb/m), a mágneses térerősséget kifejezhetjük, mint

[math]\vec{B}=\nabla\times\vec{A}[/math],

a [math]\nabla\cdot\left(\nabla\times\vec{v}\right)\equiv\vec{0}[/math] azonosság miatt.

Az Ampere-féle gerjesztési törvény, a konstitúciós reláció és a [math]\vec{B}[/math] összefüggéséből a következő egyenletet kapjuk

[math]\nabla\times\left(\frac{1}{\mu}\nabla\times\vec{A}\right)=\vec{J}[/math].

Elektrosztatikus tér

Az elektrosztatikus tér két alapösszefüggése a Gauss törvény,

[math]\nabla\cdot\vec{D}=\rho_{\scriptstyle A}\qquad[/math] vagy [math]\qquad\oint_{\scriptstyle A}\vec{D}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{A} = \int_{\scriptstyle V}\rho(\vec{r},t)\text{d}V[/math],

ami közvetlen következménye a Coulomb törvénynek, és a következő összefüggés,

[math]\nabla\times\vec{E}=\vec{0}\qquad[/math] vagy [math]\qquad\oint_{l}\vec{E}(\vec{r},t)\cdot\text{d}\vec{l}=\vec{0}[/math],

amelyet a Faraday-féle indukciótörvényből kapunk.

A [math]\vec{D}[/math] és az [math]\vec{E}[/math] vektortér között a kapcsolatot a [math]\vec{D}=\varepsilon\vec{E}[/math] összefüggés adja meg, ahol [math]\varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}[/math] a permittivitás (F/m), az [math]\varepsilon_{0} = 8.854\cdot10^{-12}\tfrac{\text{F}}{\text{m}}[/math] a vákuum permittivitás és az [math]\varepsilon_{r}[/math] a relatív permittivitás. Az [math]\vec{E}[/math] elektromos térerősség kifejezhető a [math]V[/math] elektromos skalárpotenciállal (V)

[math]\vec{E}=-\nabla V\qquad[/math] vagy [math]\qquad V = -\int\vec{E}\cdot\text{d}\vec{l}[/math],

a [math]\nabla\times\left(\nabla V\right)\equiv\vec{0}[/math] összefüggés értelmében.

A Gauss törvény, a konstitúciós reláció és az [math]\vec{E}[/math] térerősség kifejezésének felhasználásával a Poisson-egyenletet kapjuk

[math]\nabla\cdot\varepsilon\nabla V=-\rho_{\scriptstyle A}[/math],

vagy, ha [math]\rho_{\scriptstyle A} = 0[/math], akkor a Laplace-egyenletet kapjuk

[math]\nabla\cdot\varepsilon\nabla V=0[/math].