Kapacitás számítása
Kételektródás elrendezés kapacitásának számítása | |
| |
Oktató
|
További oktatók:
|
Contents
A feladat célja
A hallgató megismerje a végeselem-módszerhez kapcsolódó főbb lépéseket, mint a geometria elkészítése vagy importálása, anyagparaméterek, peremfeltételek és gerjesztés megadása, eredmények megjelenítése. Emellett pedig bemutasson a hallgatónak egy szabadon hozzáférhető szoftvert, ami nagyon jól használható disszertációk és kutatások során, köszönhetően felhasználóbarát grafikus felületének és tetszőlegesen konfigurálható megoldójának.
A feladat példája Dr. habil Gyimóthy Szabolcs egyetemi docens Elektromágneses terek előadásából származik. Az előadást ajánlom mindenkinek, aki betekintést szeretne kapni a végeselem-módszer elméleti hátterébe, hogy mi az, amit legtöbbször a szoftverek elrejtenek a felhasználó elől.
A példa az előadásban a Matlab PDE Toolbox segítségével kerül megoldásra. Itt a szabadon hozzáférhető ONELAB (Gmsh + GetDP) és a kereskedelmi ANSYS Maxwell szoftverekkel lesz a megoldás bemutatva. Ezen utóbbi szoftver elsősorban az előadásban elhangzott adaptív hálósűrítés miatt.
A ONELAB a neve alapján (Open Numerical Engineering LABoratory) egy nyitott, elsősorban a végeselem-módszeren alapuló numerikus mérnöki laboratórium. Két fő részből áll, a Gmsh a grafikus környezetet, ami az elő- és utófeldolgozó és a hálógeneráló szerepét tölti be. A megoldó pedig a GetDP, ami alkalmas 1D-s, 2D-s síkbeli és forgásszimmetrikus és 3D-s sztatikus, szinuszos és harmonikus, időfüggő és sajátértékfeladatok megoldására a végeselem-módszer segítségével.
Érdekességképpen a GetDP mellett még létezik a GetDDM, ami egy tartomány dekompozíciós módszeren (optimalizált Schwarz-módszer) alapuló megoldó nagyméretű végeselem-módszeren alapuló feladatokhoz. A másik érdekesség a ONELAB mobilapplikáció, ami lehetővé teszi, hogy mobil eszközök (mobiltelefon, tablet) is használjuk a ONELAB-ot.
A feladat megoldásához szükséges ismeretek
- A végeselem-módszer lépései és annak elméleti háttere;
- Elektrosztatikus terek, Laplace-Poisson-egyenlet;
- ONELAB részeinek (Gmsh, GetDP) ismerete.
A vizsgált elrendezés
A feladat részletes definiálása a videóban is megtalálható. Emellett készítettem egy háromdimenziós ábrát az elrendezés könnyebb elképzeléséhez és annak méretekkel ellátott keresztmetszetét. A feladat az eltolási szimmetria ([math]Z[/math]-tengely mentén nem változik a feladat, vagyis [math]\partial/\partial z = 0[/math]) miatt kétdimenziós feladatnak tekinthető. Emellett a geometria jelölt középvonalára is szimmetrikus az elrendezés, így elég a felét vizsgálni. Ezen túl pedig a fém részek elhagyhatók, mert ott az elektromos térerősség értéke nulla. Így elegendő a két fémrész közötti teret kitöltő [math]2.4\cdot\varepsilon_0[/math] permittivitású anyagot vizsgálni a megfelelő peremfeltételekkel. Dirichlet-típusú peremfeltételként adjuk meg a külső és belső elektróda potenciálját (külső - [math]0~\text{V}[/math]; belső - [math]100~\text{V}[/math]). A szimmetriasík Neumann-típusú peremfeltétel lesz, viszont ez előírás nélkül, automatikusan is teljesül jelen feladatnál.
A feladat megoldásához a Laplace-egyenletet oldjuk meg
- [math] -\,\text{div}\,\varepsilon\,\text{grad}\varphi = 0 [/math]
ahol [math]\varphi[/math] az elektromos skalárpotenciál, a következő peremfeltételekkel
- [math]\Gamma_{\text{D}1} = 0~\text{V}[/math],
- [math]\Gamma_{\text{D}2}= 100~\text{V}[/math],
- [math]\Gamma_{\text{N}}= \frac{\partial \varphi}{\partial n} = 0[/math] (homogén Neumann-peremfeltétel).
A szimulációval kapott eredmények
Az előbb megadott parciális differenciálegyenlet és peremfeltételekkel előálló feladat megoldásával a következő táblázatban összefoglalt eredmények születtek a kapacitás értékére. A Matlab PDE Toolbox megoldása az előadásból (Gyimóthy Szabolcstól) származik. Gyakorlatilag az összes szoftver azonos megoldásra vezetett. Ilyen szempontból sokkal érdekesebb a végeselemek száma. Az ANSYS Maxwell és 2D Extarctor esetében jelentősen kevesebb a végeselemek száma, mint a többi esetben. Ennek oka az adaptív hálósűrítés[1], amit a két Ansys szoftver alkalmaz az elektrosztatika példák esetében. Ennek köszönhetően ott lesz sűrűbb a felbontás, ahol az szükséges. Az adaptív hálósűrítésre mutat példát a jobb oldali ábra. Alatta pedig a feladat teljes tartományára számított (globális) hiba változása látható.
Matlab PDE Toolbox | ONELAB | Maxwell 2D | 2D Extractor | FEMM | Agros2D | |
---|---|---|---|---|---|---|
Végeselemek száma | 2944 | 2598 | 740 | 258 | 7885 | 2432 |
Kapacitás [[math]\text{pF/m}[/math]] | 173.51 | 173.78 | 173.33 | 173.29 | 173.70 | 173.64 |
Mindegyik esetben lineáris háromszög elemekkel lett felbontva a vizsgált tartomány. A lineáris végeselemekből következik, hogy a végeselemen belül a [math]\varphi[/math] potenciál értéke lineárisan változik, vagyis az elektromos térerősség ([math]\vec{E}=\text{grad}\varphi[/math]) konstans a végeselemen belül. Ez jól megfigyelhető az alábbi két ábrán. A baloldali ábrán a kapott skalárpotenciálból számított elektromos térerősség euklideszi normája látható. A jobb oldali ábrán pedig ugyanez az eredmény a simítást (smoothing) követően.
Legvégül egy-egy ábra az elektromos skalárpotenciálról és az elektromos térerősség vektorairól. Az elektromos skalárpotenciál ábráján jól láthatóak a vezető körül kialakuló ekvipotenciális vonalak. A vektorok esetében jól látható a homogén Neumann-peremfeltétel teljesülése a szimmetrisík mentén.
Az elektromos skalárpotenciál értéke az elrendezésben. | Az elektromos térerősség vektorai az elrendezésben. |
References
- ↑ Gyimóthy Sz.: Adaptív automatikus hálógenerálás a végeselem módszerhez, PhD disszertáció, 2003.