Feladat 5

From Maxwell
Jump to: navigation, search

Feladat #5 - Stacionárius hőáramlás

Oktató

  • Marcsa Dániel (óraadó)
  • Előadás: -
  • Fogadóóra: egyeztetés alapján

További oktatók:

  • -
  • Fogadóóra: -.

A feladat célja

A hallgatók elsajátítsák az elektromágneses térszámítás alapjait, főbb lépéseit, valamint gyakorlatot szerezzen az eredmények kiértékelésében a FEMM vagy az Agros2D vagy az Ansys Maxwell szoftver segítségével. Ezen túl a nemzetközi elvárásoknak megfelelő Műszaki Jelentés (Technical Report) írásában is gyakorlatot szerezzen.

A feladat egy háromfázisú kábel (lásd Feladat 4) egyik vezetőjében kialakuló hőmérsékleteloszlás meghatározása a vezetékben létrejövő veszteség ismeretében.

A feladat megoldásához szükséges ismeretek

  • A végeselem-módszer lépései;
  • A stacionárius hőáramlásra vonatkozó elméleti ismeretek (anyagok definiálásához, gerjesztés és peremfeltétel megadásához) [Ebben segítséget nyújt a lenti el elméleti összefoglaló.];
  • Az Ansys Electronics Desktop Student szoftver alapszintű kezelése.

A feladat

A feladat két részből áll, a szimulációból és az összefoglaló elkészítéséből.

Leadási határidő: nappali - 2020. december 5. 23:59 / távoktatás - 2021. december 19. 23:59
Leadás formája: A szimulációs fájlt (*.aedt) tömörítve (.zip formátumban).
Az összefoglalót PDF formátumban. A színes ábrákat úgy kell elkészíteni, hogy fekete-fehérben kinyomtatva is világos legyen a tartalmuk az olvasó számára.
Benyújtás nyelve: Magyar
Benyújtás helye: A Moodle rendszerben kiírt feladatnál.
Késői benyújtás: Minden megkezdett nap után 5% levonás az elért eredményből (azaz pl. 5 nap késés után 100%-os leadandóra már csak max. 100% - 5x5% = 75%-ot lehet szerezni).
Értékelés: 0 – 50% - Elégtelen (1)
51 – 60% - Elégséges (2)
61 – 70% - Közepes (3)
71 – 85% - Jó (4)
86 – 100% - Jeles (5)
A formai követelmények tekintetében az alábbi linken elérhető útmutatót/sablont kell használni.

Feladat I. része

A vezetőben kialakuló hőmérsékleteloszlás számítása végeselem-módszerrel

A kapott sorszám alapján a feladat geometriájának méreteit a következő táblázatban találja: Feladat #4 méretei.

A feladat: meghatározni a hőmérsékleteloszlást az elrendezés tetszőlegesen választott vezetőjében a veszteség 50 Hz-en és 500 Hz-en számolt értékének esetére.

Az anyagtulajdonságok.
Anyag Réz PVC
[math]\rho~[\text{kg}/\text{m}^3][/math] 8960 1380
[math]c_{\text{P}}~[\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})][/math] 383 1172
[math]\lambda~[\text{W}/(\text{m}\cdot\text{K})][/math] 401 0,2

A FEMM szoftver esetében a térfogatra vonatkoztatott hőkapacitást (Volumetric heat capacity) kell megadni. Ezt a hőkapacitás ([math]c_{\text{P}}[/math]) és a sűrűség ([math]\rho[/math]) szorzata adja:

[math]c_{\text{PV}} = c_{\text{P}} \cdot \rho [/math] [math]\Bigg[\frac{\text{J}}{\text{m}^3\cdot\text{K}}\Bigg][/math].

Azonban mivel időben állandó feladatról van szó, ezért nem szükséges a megadása.

A feladat gerjesztése ([math]q_V[/math]) az egységnyi térfogatra vett veszteség, amit nem más, mint az örvényáram-veszteség és a vezető térfogatának hányadosa:.

[math]q_V = \frac{P_{\text{ec}}}{V_{\text{vezető}}} \Bigg[\frac{\text{W}}{\text{m}^3}\Bigg][/math],

ahol [math]P_{\text{ec}}[/math] az örvényáram okozta veszteség a vezetőben, [math]V[/math] pedig az egységnyi hosszú vezető térfogata.

A feladat külső felületére a peremfeltételnek hőszállítást (konvekciót) (Neumann-peremfeltétel) írunk elő:

[math]-\lambda\cdot\frac{\partial T}{\partial n} = \alpha\cdot(T_{\text{külső}} - T)[/math],

ahol [math]\lambda~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}\cdot\text{K}}\Big][/math] a hővezetési tényező, [math]T_{\text{külső}}[/math] a környezeti hőmérséklet és [math]\alpha~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}\Big][/math] a hőátadási tényező. Ennél a feladatnál [math]T_{\text{külső}} = 22°\text{C} = 295,15~\text{K}[/math] és [math]\alpha = 9~\tfrac{\text{W}}{(\text{m}^2\cdot\text{K})}[/math] legyen, amit használunk. A valóságban [math]\alpha[/math] egy hőmérsékletfüggő paraméter.

A [math]z-[/math]irányú hossza a feladatnak minden esetben [math]1\,\text{m}[/math] legyen és a szigetelő (PVC) vastagsága [math]4,2\,\text{mm}[/math].

Elvégzendő feladatok

  • A megadott paraméterek alapján elkészíteni a síkbeli (planar) feladat geometriáját az Ansys Electronics Desktop Student szoftverben;
  • Az anyagtulajdonságok, a gerjesztés és a peremfeltételek megadása;
  • A FEM szimuláció futtatása;
  • Az eredmények kiértékelése:
    • Vezető átlaghőmérséklete [math]50~\text{Hz}[/math] és [math]500~\text{Hz}[/math] esetében;
    • A vezető keresztmetszetében (pl. [math]X = -20,2~\text{mm}~\dots~20,2~\text{mm}[/math]) a hőáramsűrűség kirajzoltatása.

A táblázatban található méretek jelentését az alábbi ábrák mutatják. A táblázatban a 2. oszlop jelöli a változat számát. A kapott feladat teljesen azonos a Feladat 4 esetében kapott feladattal.

Szoftverek használatának bemutatása

A Feladat 4-nél, az 1. ábrán látható elrendezésből a középső ([math]L_2[/math]) vezető szimulációján keresztül ismertetem az önálló feladat megoldásának menetét. A feladathoz készült videók segítségével elsajátítható a feladat beállítása, az anyagtulajdonságok, a peremfeltételek és a gerjesztés megadása. Majd a megoldást követően a térváltozók megjelenítése és a feladathoz kapcsolódó számítandó mennyiségek meghatározása.

Az eredmények összehasonlítása 50 Hz esetében.
Szoftver FEMM Agros2D Maxwell 2D
&
AEDT Thermal (3D) 		Maxwell 2D
&
Steady-State Thermal (2D)
Veszteség [[math]\text{W}[/math]] 18,68 18,72 18,88 18,88
Hőmérséklet [[math]°\text{C}[/math]] 41,82 41,86 42,03 42,09
Az eredmények összehasonlítása 500 Hz esetében.
Szoftver FEMM Agros2D Maxwell 2D
&
AEDT Thermal (3D) 		Maxwell 2D
&
Steady-State Thermal (2D)
Veszteség [[math]\text{W}[/math]] 50,40 50,47 51,39 51,39
Hőmérséklet [[math]°\text{C}[/math]] 75,47 75,55 76,53 76,68

Feladat5 FEMM 50Hz Temp.png

Feladat5 Agros2D 50Hz Temp.png

FEMM - A hőmérsékleteloszlás és a hőáramsűrűség vektorok 50 Hz esetében. Agros2D - A hőmérsékleteloszlás és a hőáramsűrűség vektorok 50 Hz esetében.

MechanicalThermal 50Hz Temp.png

Feladat5 SteadyStateThermal 50Hz Temp.png

AEDT Mechanical Thermal - A hőmérsékleteloszlás és a hőáramsűrűség vektorok 50 Hz esetében. Workbench Steady-State Thermal - A hőmérsékleteloszlás és a hőáramsűrűség vektorok 50 Hz esetében.

Feladat5 HeatFlux Line.png

Ábra 1. - A hőáramsűrűség a vezeték keresztmetszetében.

Az Ábra 1-en látható görbéknél a uniform annyit jelent, hogy a vezető keresztmetszetében a veszteséget egyenletes eloszlásunak vettem. A két eset, ahol ez nem szerepel, ott pedig a tényleges veszteségeloszlással számoltam. Ez a különbség ennél a példánál nem okoz számottevő eltérést a hőmérsékleteloszlásban, azonban ez általánosságban nem igaz.

Videók a szoftverek használatához

  • [ Ansys Icepak]
  • [ Ansys Mechanical]

A hővezetés differenciálegyenlete[1][2]

A hővezetés általános differenciálegyenletéhez az energimegmaradás tételét a hővezetés jelenségére alkalmazva jutunk.
Vizsgáljuk egy [math]V[/math] térfogatú hővezető közeg energiaegyensúlyát. A térfogatba foglalt közeg:

[math]m = \int_{V}\rho~\text{d}V[/math],

ahol [math]\rho~\Big[\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\Big][/math] a sűrűség.
A tömeg hőmérsékletének [math]\text{d}T[/math] értékkel való növelése [math]\text{d}\tau[/math] idő alatt [math]\text{d}Q[/math] hőmennyiség közlése mellett történik. A hőmérséklet idő szerinti változása

[math]\text{d}T = \frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}\tau[/math]

egy helyfüggő érték. A felmelegítéshez szükséges hőmennyiség

[math]\text{d}Q = \text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V[/math],

ahol [math]c~\Big[\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\Big][/math] az anyag helytől függő fajhője.

A közölt hőmennyiség származhat a vizsgált térrészen belül elhelyezkedő hőforrásból ([math]\text{d}Q_1[/math]), vagy érkezhet a vizsgált tartományt határoló felületen keresztül hővezetéssel ([math]\text{d}Q_2[/math]). A két hőmennyiség összege a felmelegítésre fordított hőmennyiséggel egyenlő:

[math]\text{d}Q = \text{d}Q_1 + \text{d}Q_2[/math].

Hőforrásként jelentkezhet a közegben például az elektromos áram hőhatása. A hőforráseloszlás [math]\biggl(q_V~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^3}\Big]\biggr)[/math] ismeretében a vizsgált [math]V[/math] térrészben [math]\text{d}\tau[/math] idő alatt keletkező hőmennyiség:

[math]\text{d}Q_1 = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V[/math].

A [math]V[/math] térrészt határoló [math]S[/math] felületen át vezetéssel a térrészbe belépő és az onnan szintén vezetéssel kilépő hőmennyiség eredője, ugyancsak [math]\text{d}\tau[/math] idő alatt:

[math]\text{d}Q_2 = -\text{d}\tau\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S}[/math],

ahol [math]\vec{q}~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}\Big][/math] a hőáramsűrűség vektora. Az [math]S[/math] felület normálisát pozitívnak tekintjük, ha a vizsgált térrészből kifelé mutat. A negatív előjel azért szükséges, mert a [math]\text{d}Q_2[/math] hőmennyiséget akkor tekintjük pozitívnak, ha az a vizsgált térrészben lévő tömeg hőmérsékletét növeli. Azonban a felület normálisának iránya miatt (kifelé mutat) a térrészbe belépő hőmennyiség negatív értéként adódik.

A hőmérsékletek azonosságát kifejező egyenletbe helyettesítve:

[math]\text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V -\text{d}\tau\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S}[/math].

Ez az összefüggés azt mutatja, hogy az [math]S[/math] felület által határolt [math]V[/math] térfogatban lévő közeg belső energiájának a vizsgált [math]\text{d}\tau[/math] idő alatt történő megváltozása az [math]S[/math] felületen keresztül vezetéssel belépő ls kilépő hőmennyiségek eredőjéből, valamint a [math]V[/math] térfogaton belül elhelyezkedő hőforrás által szolgáltatott hőmennyiségből adódik.
A Gauss-Osztrogradszkij-tétel értelmében a jobb oldal második tagja átalakítható:

[math]\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S} = \int_{V} \nabla\cdot\vec{q}~\text{d}V[/math],

amit visszahelyettesítve és átrendezve a következő egyenletre vezet:

[math]\text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V -\text{d}\tau\int_{V} \nabla\cdot\vec{q}~\text{d}V \rightarrow \text{d}\tau\int_{V} \big(c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} - q_V + \nabla\cdot\vec{q}\big)~\text{d}V = 0[/math].

Figyelembe véve azt, hogy az integrál zérus értéke az integrandusz zérus voltát jelenti, tehát

[math]c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} - q_V + \nabla\cdot\vec{q} = 0[/math].

Egy szilárd testben, amelyben a hő kizárólag vezetés útján terjed, a [math]\vec{q}[/math] hőáramsűrűség valamely helyen a hely környezetében uralkodó hőmérsékleteloszlás alapján megállapítható. A legnagyobb hőmérsékletváltozás irányába mutató gradiens vektor és a [math]\vec{q}[/math] hőáramsűrűség vektor iránya megegyezik. Azonban a tapasztalat szerint a hő mindig a csökkenő hőmérséklet irányába áramlik, tehát a a hőmérsékletgradiens vektor és a [math]\vec{q}[/math] hőáramsűrűség vektor értelme ellentétes. A hőáramsűrűség vektor abszolút értéke az egységnyi elmozdulásra jutó hőmérsékletcsökkenéssel , azaz a gradiens vektor abszolút értékével arányos. A kettő közötti arányossági tényező az adott anyag [math]\lambda~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}\cdot\text{K}}\Big][/math] hővezetési tényezője. A leírtak alapján, az úgynevezett Fourier-törvény:

[math]\vec{q} = \lambda\cdot(-\nabla~T) = -\lambda\cdot \nabla~T[/math].

Ezt az összefüggést felhasználva a hővezetés általános differenciálegyenlete:

[math]-\nabla(\lambda\cdot \nabla~T) + c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} = q_V[/math].

További egyszerűsítést jelent az esetünkben, hogy stacionárius hőáramlásról van szó, azaz nincs időbeli változás

[math]-\nabla(\lambda\cdot \nabla~T) = q_V[/math].

A feladatmegoldás során ezt a Poisson-egyenletet oldjuk meg, ahol [math]q_V~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^3}\Big][/math] az egységnyi térfogatban keletkező veszteség.

Feladat II. része

A műszaki jelentés elkészítése és leadása a Moodle rendszerben PDF formátumban.
A műszaki jelentés a következő linken elérhető: Word; PDF.

Hivatkozások

  1. ↑ Szabó I., Áramlástan, műszaki hőtan, Tankönyvkiadó, Budapest, 1973.
  2. ↑ Imre L., Villamos gépek és eszözök melegedése és hűtése - 2. Bevezetés a hőátviteli folyamatok elméletébe, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1982.
Retrieved from "http://wiki.maxwell.sze.hu/index.php?title=Feladat_5&oldid=2801"