Difference between revisions of "4. lecke"

From Maxwell
Jump to: navigation, search
(→‎Elektromos- és mágneses térerősség integrálegyenlet)
 
(27 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 3: Line 3:
 
| colspan=2 align=center |
 
| colspan=2 align=center |
 
<font color='blue' size='+2'>Integrálegyenleteken alapuló módszerek / Hullámegyenlet</font>
 
<font color='blue' size='+2'>Integrálegyenleteken alapuló módszerek / Hullámegyenlet</font>
−
|- valign=top
+
|-
−
| width=50% |
+
| style="text-align: left; width: 36%;" |  
−
'''Instructor'''
+
'''Oktató'''
−
* Dániel Marcsa (lecturer)
+
* [http://wiki.maxwell.sze.hu/index.php/Marcsa Marcsa Dániel] (óraadó)
−
* Lectures: -
+
* Előadás: -
−
* Office hours: by request
+
* Fogadóóra: egyeztetés alapján
−
| width=50% |
+
| style="text-align: left; width: 36%;" |  
−
'''Teaching Assistants:'''
+
'''További oktatók:'''
 
* -
 
* -
−
* Office hours: -.
+
* Fogadóóra: -.
 
|}
 
|}
  
−
== Integral Equation Based Methods<ref>[https://ieeexplore.ieee.org/book/5264717 R. F. Harrington - Time Harmonic Electromagnetic Fields, New York, McGraw Hill, 1961.]</ref> ==
+
== Integrálegyenleten alapuló módszerek<ref>[https://ieeexplore.ieee.org/book/5264717 R. F. Harrington - Time Harmonic Electromagnetic Fields, New York, McGraw Hill, 1961.]</ref> ==
 
<blockquote>
 
<blockquote>
−
=== Boundary Element Method (BEM)<ref>[https://cecas.clemson.edu/cvel/modeling/tutorials/techniques/bem/boundary_element_method.html CVEL - Electromagnetic Modeling (BEM)]</ref> ===
+
=== Peremelem módszer (Boundary Element Method - BEM)<ref>[https://cecas.clemson.edu/cvel/modeling/tutorials/techniques/bem/boundary_element_method.html CVEL - Electromagnetic Modeling (BEM)]</ref> ===
  
−
''Boundary Element Method'' (BEM) codes use the method of moments to solve an EFIE (''Electric Field Integral Equation''), MFIE (''Magnetic Field Integral Equation'') or CFIE (''Combined Field Integral Equation'') for electric and/or magnetic currents on the surfaces forming the interfaces between any two dissimilar materials. Most CEM modeling codes that bill themselves as simply "moment method" codes employ a boundary element method.
+
Peremelem módszeren (''BEM - Boundary Element Method'') alapuló megoldók többsége a momentumok módszerét (''MoM - Method of Moments'') használja, hogy megoldja az EFIE (''Electric Field Integral Equation''), az MFIE (''Magnetic Field Integral Equation'') vagy a CFIE (''Combined Field Integral Equation'') egyenletrendszert, az elektromos és/vagy mágneses áramokat meghatározásához az egymástól eltérő anyagok közötti határfelületen. Emiatt sok esetben az EM szimulációs programot csak "momentumok módszerén" alapuló szoftverként jellemzik, holott a peremelem módszert használja.
  
 
{| width=100%
 
{| width=100%
Line 26: Line 26:
 
[[Image:BEM.png|650px]]
 
[[Image:BEM.png|650px]]
 
|-
 
|-
−
|align=center | <span style="font-size:88%;">''' ''Figure 1.'' - Principle of Equivalence.'''</span>
+
|align=center | <span style="font-size:88%;">''' ''1. ábra'' - Az egyenértékűség elve.'''</span>
 
|}
 
|}
  
−
The first step in a boundary element analysis is to represent the problem geometry as a distribution of equivalent surface currents in a homogeneous medium (usually free space). As illustrated in Figure 1, the fields exterior to an object consist of fields incident on the object, fields reflected from the object and fields emanating from the object. The Equivalence Theorem states that any field distribution exterior to an object can be exactly duplicated by removing the object and replacing it with a set of equivalent electric and magnetic currents on the boundary surface.
+
A peremelem módszer első lépése a probléma geometriájának leírása az azzal egyenértékű felületi áramok eloszlásaként homogén közegben (általában szabad térben). Amint az 1. ábrán látható, az objektum körüli tér az objektumra beeső térből, az objektumról visszavert térből és az objektumból származó térből áll össze. Az egyenértékűségi tétel azt állítja, hogy az objektumon kívüli téreloszlás pontosan leírható, ha eltávolítja az objektumot, és azzal egyenértékű elektromos és mágneses áramokkal helyettesítjük a határfelületen.
  
−
Since the forms of EFIE and MFIE used by boundary element methods are only valid for current distributions in a uniform homogeneous medium, all objects in the problem space must be removed and replaced with (initially unknown) surface currents conforming to their boundaries.
+
Mivel a peremelem módszernél is használt EFIE és MFIE sémák az árameloszlás esetében csak a homogén közegben érvényesek, a feladatban lévő összes objektumot el kell távolítani, és a határaiknak megfelelő (kezdetben ismeretlen) felületi áramokkal kell helyettesíteni.
  
−
Equations below show a common form of the EFIE and MFIE employed by boundary element method codes that model metallic objects only (i.e. there are no equivalent magnetic surface currents);
+
Az alábbi egyenletek az EFIE és MFIE általános alakját mutatják, ahogy a peremelem módszert használó programok jellemzően alkalmazzák, amelyek csak fémes tárgyakat modelleznek (azaz nincs ekvivalens mágneses felületi áram);
  
−
::<math>\vec{E}(\vec{r})=\frac{-j\eta}{4\pi k}\int_S\vec{J}_S(\vec{r}')\cdot\vec{G}_e(\vec{r},\vec{r}')\text{d}S'</math>
+
::<math>\vec{E}(\vec{r})=\frac{-j\eta}{4\pi k}\int_S\vec{J}_S(\vec{r}')\cdot\vec{G}_e(\vec{r},\vec{r}')\text{d}S'</math>,
  
−
::<math>\vec{H}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi}\int_S\vec{J}_S(\vec{r}')\times\nabla'\vec{G}_m(\vec{r},\vec{r}')\text{d}S'</math>
+
::<math>\vec{H}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi}\int_S\vec{J}_S(\vec{r}')\times\nabla'\vec{G}_m(\vec{r},\vec{r}')\text{d}S'</math>.
  
−
In these equations, <math>\int_S \text{d}S'</math> integral over the surface represents integration over all boundary surfaces. Note that since the boundary only exists at places where an interface between two different materials occurred, the size of the boundary is limited (i.e. there is no integration to infinity).
+
Ezekben az egyenletekben a <math>\int_S \text{d}S'</math> felületre vett integrál az összes határfelületre vett integrálást jelenti. Azt érdemes figyelembe venni, hogy perem csak olyan helyeken létezik, ahol két különböző anyag között határfelület van, tehát a perem mérete korlátozott (azaz nincs integrálás a végtelenbe).
  
−
The functions <math>\vec{G}_e</math> and <math>\vec{G}_m</math> in these equations relate source currents to the electric and magnetic field generated by those currents, respectively. <math>\vec{G}_e</math> and <math>\vec{G}_m</math> are called Green's functions and they play a central role in boundary element analysis. Free-space Green's functions express the field emanating from the surface current represented by an individual basis function (e.g. the current on an individual surface patch). However, other Green's functions can be employed to express the field emanating from more complex structures that are common to a particular problem geometry. For example, a geometry consisting of metal surfaces coated with a thin dielectric may employ a special Green's function that expresses the fields emanating from the combined surfaces of the metal-dielectric and dielectric-air interfaces. This can substantially reduce the number of surface elements required to model the problem.
+
A fenti egyenletekben a <math>\vec{G}_e</math> és a <math>\vec{G}_m</math> tagok az elektromos és mágneses teret létrehozó áramokkal kapcsolatos függvények. A <math>\vec{G}_e</math>-t és <math>\vec{G}_m</math>-et Green-függvényeknek hívják, és központi szerepet játszanak a peremelem módszerben. A szabadtéri Green-függvény segítségével kifejezhetjük egy külön bázisfüggvénnyel leírt felületi áramok által létrehozott teret (pl.: egy felületdarab árama). Azonban, más Green-függvények is alkalmazhatók egy adott geometriára jellemző, összetettebb szerkezetből származó tér kifejezésére. Például egy vékony dielektrikummal bevont fémfelületekből álló geometriánál alkalmazható egy speciális Green-függvény, amely kifejezi az összevont fém-dielektrikum és dielektrikum-levegő határfelületekből származó teret. Ez jelentősen csökkentheti a probléma modellezéséhez szükséges felületi elemek számát.
  
−
All Green's functions are approximate expressions that are accurate for a limited range of frequencies, distances and source geometries. Many boundary element methods employ several Green's functions to model different regions of a problem or different problem environments.
+
Az összes Green-függvény közelíti a megoldást, aminek használhatóságának és pontosságának korlátot szab a frekvencia, a távolság és a geometria. A legtöbb peremelem módszer különböző Green-függvényeket alkalmaz, hogy modellezzék a feladat egyes részeit vagy az eltérő feladatokat.
  
−
General purpose 3D BEM codes usually employ basis and weighting functions that are linear current distributions on a rectangular or triangular surface patch. There are generally two unknowns per patch corresponding to two orthogonal current vectors. Thin wires can be represented very efficiently with a single unknown representing the amplitude of the current distribution on each wire segment.
+
Az általános célú 3D BEM kódok általában olyan bázis- és súlyfüggvényeket alkalmaznak, amelyek lineáris árameloszlást eredményeznek a háromszög vagy négyszögletes felületdarabokon. Általában két ismeretlen, két ortogonális (egymásra merőleges) áramvektor van felületdarabonként. A vékony vezetékeket hatékonyan leírhatóak egy ismeretlenes elemekkel, ahol az ismeretlen az árameloszlás amplitúdója vezetékdarabonként.
  
−
Point matching techniques employ basis and weighting functions that are simple impulse functions often at the center of each patch or segment. Pulse matching techniques employ basis and weighting functions that have a constant value everywhere on the patch or segment. More accurate implementations employ basis and weighting functions that transition smoothly from one patch to the next. Rao-Wilton-Glisson (RWG) basis functions are a popular choice for codes that employ triangular surface patch elements. Roof-top basis functions are often employed by codes that use rectangular elements.
+
A pont-illesztési eljárásnál a bázis- és súlyfüggvényt Dirac-deltának választjuk, melyek jellemzően a felületelem középpontjában helyezkedik el. Az ugrásfüggvény-illesztési módszernél a bázis- és súlyfüggvényt állandó értéknek vesszük az egész felületelemen. A pontosabb megvalósításnál olyan bázis- és súlyfüggvényt alkalmaznak, amelynél folytonos az átmenet két szomszédos felületelem között. A Rao-Wilton-Glisson (RWG) bázisfüggvény a legelterjedtebben alkalmazott háromszög alakú felületelemeket alkalmazó programoknál. A téglalap alakú elemeket alkalmazó szoftverek jellemzően "háztető" (roof-top) bázisfüggvényt használnak.
  
−
Generally, CEM software employing a boundary element method excels at modeling unbounded problems, particularly when it is not necessary to model regions of great complexity in detail. Structures that can be adequately represented with a wire grid can be analyzed very effectively using boundary element methods, because these methods model wires very efficiently.
+
Általában azok az elektromágneses szimulációs szoftverek, amelyek a peremelem módszeren alapulnak nagyon jók nyitott feladatok modellezésére, különösen akkor, ha ezen belül nincs szükség a nagyon összetett tartományok részletes modellezésére. A vonalakkal jól leírható szerkezetek nagyon hatékonyan modellezhetőek a peremelem módszerrel.
  
−
Following table lists various strengths and weakness of BEM modeling techniques. Note that the capabilities of any particular modeling software depend strongly on the form of the integral equation solved, the choice of basis and weighting functions, the Green's function(s) employed, and the matrix solver and any optimization techniques employed.
+
Az alábbi táblázat összegzi a BEM modellezés erősségeit és gyengeségeit. Fontos megjegyezni, hogy az egyes modellező szoftverek képességei erősen függenek a megoldandó integrált egyenlet formájától, a bázis- és súlyfüggvény megválasztásától, az alkalmazott Green-függvény(ek)től, valamint az egyenletrendszer megoldójától és az alkalmazott optimalizálási technikáktól.
 +
 
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
! Erősségek
 +
! Gyengeségek
 +
|-
 +
|
 +
* Kiváló a sugárzási feladatok modellezésében.
 +
* Kiváló a fémfelületek és vékony vezetékek modellezésére.
 +
* Jó a koncentrált paraméterű áramkörrel összekapcsolt szerkezetek modellezésében.
 +
|
 +
* Nem modellezi jól az inhomogén vagy összetett anyagokatat.
 +
* Nem alkalmas olyan feladatok modellezésére, amelyekben a kis részek mellett nagyobb objektumok is vannak.
 +
* A rezonáns méretű zárt struktúrák modellezéséhez CFIE formalizmus szükséges.
 +
|}
  
 
</blockquote>
 
</blockquote>
  
−
=== Method of Moments (MoM)<ref>[https://cecas.clemson.edu/cvel/modeling/tutorials/techniques/mom/method_of_moments.html CVEL - Electromagnetic Modeling (MoM)]</ref> ===
+
=== Momentumok módszere (Method of Moments - MoM)<ref>[https://cecas.clemson.edu/cvel/modeling/tutorials/techniques/mom/method_of_moments.html CVEL - Electromagnetic Modeling (MoM)]</ref> ===
 
<blockquote>
 
<blockquote>
  
−
In the 1960s, R.F. Harrington and others applied a technique called the ''Method of Moments'' to the solution of electromagnetic field problems. The Method of Moments (also called the Method of Weighted Residuals) is a technique for solving linear equations of the form,
+
Már 1960-ban, mások mellett R.F. Harrington is alkalmazott egy ''momentumok módszerének'' nevezett eljárást elektromágneses feladatok megoldására. A momentumok módszere egy eljárás, ami a feladatot lineáris egyenletrendszerré képezi le
  
−
::<math>\mathcal{L}(\phi)=f</math>
+
::<math>\mathcal{L}(\phi)=f</math>,
  
−
where the functional <math>\mathcal{L}(\bullet)</math> is a linear operator, <math>f</math> is a known excitation or forcing function, and <math>\phi</math> is an unknown quantity. To solve this problem on a digital computer, we start by expressing the unknown solution as a series of basis or expansion functions, <math>v_n</math>,
+
ahol a <math>\mathcal{L}(\bullet)</math> funkcionál egy lineáris operátor, az <math>f</math> az ismert gerjesztés vagy kényszer függvénye és a <math>\phi</math> az ismeretlen mennyiség. Ahhoz, hogy számítógépen kezelhető feladatot kapjunk, a feladatot <math>N</math> részre (2D - vonal, 3D - felület) felbontjuk, majd az ismeretlen függvényt ugyanennyi súlyozott bázisfüggvény (<math>v_n</math>) összegeként kell közelíteni,
  
−
::<math>\phi = \sum_{n=1}^{N}a_n v_n</math>
+
::<math>\phi = \sum_{n=1}^{N}a_n v_n</math>,
  
−
where <math>a_n</math> are unknown coefficients describing the amplitude of each term in the series.
+
ahol <math>a_n</math> az ismeretlen együttható, ami a sorozat egyes tagjainak az amplitúdóját adja meg.
  
−
Now instead of one equation with a continuous unknown quantity, <math>f</math>, we have an equation with <math>N</math> scalar unknowns,
+
Ennek következtében, most nem egy egyenletünk van a <math>\phi</math> ismeretlennel, hanem ehelyett <math>N</math> darab skalár ismeretlen van,
  
 
::<math>\mathcal{L}(a_1v_1+a_2v_2+\dots+a_Nv_N)=f</math>.
 
::<math>\mathcal{L}(a_1v_1+a_2v_2+\dots+a_Nv_N)=f</math>.
  
−
To solve for the values of <math>a_n</math>, we need <math>N</math> linearly independent equations; so <math>a_n</math> different weighting or testing functions, <math>w_n</math>, are applied. This yields the following system of <math>N</math> equations in <math>N</math> unknowns:
+
Ahhoz, hogy meghatározzuk <math>a_n</math> értékeit, <math>N</math> darab egymástól lineárisan független egyenletre van szükségünk; amihez <math>a_n</math> különböző súly- vagy tesztfüggvényeket, <math>w_n</math>-t alkalmazunk. Ennek következtében <math>N</math> egyenletből álló egyenletrendszerünk van az <math>N</math> ismeretlenhez:
  
 
::<math>
 
::<math>
Line 92: Line 107:
 
\vdots \\
 
\vdots \\
 
\langle w_N, f_N \rangle
 
\langle w_N, f_N \rangle
−
\end{bmatrix}
+
\end{bmatrix}.
 
</math>
 
</math>
  
−
This linear system of equations has the form,
+
A fenti összefüggés lineáris egyenletrendszerként a következő lesz
  
−
::<math>\textbf{A}\textbf{x}=\textbf{b}</math>
+
::<math>\textbf{A}\textbf{x}=\textbf{b}</math>,
  
−
where the elements of <math>\textbf{A}</math> are known quantities that can be calculated from the linear operator, the functional <math>\mathcal{L}(\bullet)</math>, and the chosen basis and weighting functions. The elements of \textbf{b} are determined by applying the weighting functions to the known forcing function. The unknown elements of <math>\textbf{x}</math> can be found by solving the matrix equation. After solving for <math>\textbf{x}</math> (i.e. the unknown coefficients, <math>a_n</math>), the value of <math>\phi</math> is determined using <math>\phi = \sum_{n=1}^{N}a_n v_n</math> equation.
+
ahol az <math>\textbf{A}</math> mátrix elemei ismert értékek, amelyeket a <math>\mathcal{L}(\bullet)</math> lineáris operátorból és a kiválasztott bázis- és súlyfüggvények segítségével számítható. A \textbf{b} elemeit az ismert gerjesztési függvényből és a súlyfüggvényből lehet meghatározni. A <math>\textbf{x}</math> vektor ismeretlen elemeit az egyenletrendszer megoldásával kapjuk. Az <math>\textbf{x}</math> mátrix elemeinek (azaz az ismeretlen együtthatók, <math>a_n</math>) meghatározása után, a <math>\phi</math> értékét a <math>\phi = \sum_{n=1}^{N}a_n v_n</math> egyenlet segítségével számítjuk.
  
−
The Method of Moments (MoM) can be used to solve a wide range of equations involving linear operations including integral and differential equations. This numerical technique has many applications other than electromagnetic modeling; however the MoM is widely used to solve equations derived from Maxwell's equations. In general, moment method codes generate and solve large, dense matrix equations and most of the computational resources required are devoted to filling and solving this matrix equation. The particular form of the equations that is solved and the choice of basis and weighting functions have a great impact on the size of this matrix and ultimately the suitability of a given moment method code to model a given geometry.
+
A momentumok módszere (MoM) az egyenletek széles skálájának megoldására alkalmazható, ideértve az integrál- és a differenciálegyenleteket. Ennek a numerikus technikának az elektromágneses modellezésen kívül sok egyéb alkalmazása van, azonban a MoM-ot széles körben a Maxwell-egyenletekből származó egyenletek megoldására használják. Általánosságban elmondható, hogy a MoM-ra épülő megoldók nagy, sűrű mátrix egyenleteket generálnak és oldanak meg, és a szükséges számítási erőforrások nagy részét ennek a mátrix egyenletnek a asszemblálására és megoldására fordítják. A megoldandó egyenletek alakja, valamint az bázis- és a súlyfüggvények megválasztása nagy befolyással bír ennek a mátrixnak a méretére, és végül a MoM megoldó alkalmasságára egy adott geometria modellezésénél.
  
−
==== Equation Options ====
+
==== Elektromos- és mágneses térerősség integrálegyenlet ====
  
−
The most common equation form solved by CEM modeling codes based on the Method of Moments is the ''Electric Field Integral Equation'' (EFIE). This is an equation of the form,
+
A momentumok módszerét használó programcsomagok legelterjedtebben az ''elektromos térerősség integrálegyenletet'' (Electric Field Integral Equation - EFIE) oldják meg. Ennek az általános alakja
  
 
::<math>\vec{E}=f_e(\vec{J},\vec{M})</math>,
 
::<math>\vec{E}=f_e(\vec{J},\vec{M})</math>,
  
−
where <math>\vec{E}</math> is the impressed (i.e. source) electric field and <math>\vec{J}</math> and <math>\vec{M}</math> are the induced electric and magnetic current densities, respectively. The EFIE will be discussed further in the section describing the Boundary Element Method. Generally, codes that solve a form of the EFIE excel at modeling open (unbounded) geometries in which the electric field dominates in the near-field region of the source.
+
ahol <math>\vec{E}</math> a beiktatott (azaz forrás) elektromos térerősség és a <math>\vec{J}</math> és a <math>\vec{M}</math> az indukált elektromos és mágneses áramsűrűség. Az EFIE-ről a peremelem módszernél is említést tettünk. Általában az elektromos térerősség integrálegyenletet használó programok kitűnőek a nyitott feladatok modellezésére, ha a forrás közelében (a közelterében) az elektromos térerősség a jelentősebb.
  
−
Another equation solved by Moment Method codes is the ''Magnetic Field Integral Equation'' (MFIE), which has the general form,
+
Egy másik egyenlet, amit a momentumok módszere segítségével megoldunk a ''mágneses térerősség integrálegyenlet'' (Magnetic Field Integral Equation - MFIE), aminek az általános alakja,
  
 
::<math>\vec{H}=f_m(\vec{J},\vec{M})</math>,
 
::<math>\vec{H}=f_m(\vec{J},\vec{M})</math>,
  
−
where <math>\vec{H}</math> is the impressed (i.e. source) magnetic field intensity. Codes that solve a form of the MFIE are best suited for modeling geometries with circulating currents, where the magnetic near field is dominant.
+
ahol <math>\vec{H}</math> a beiktatott (azaz forrás) mágneses térerősség. Az örvényáramú feladatoknál, ahol a mágneses térerősség jelentősebb a közeltérnél a mágneses térerősség integrálegyenletet alkalmazzák a programok.
  
−
Moment Method codes based on the EFIE or MFIE alone, may exhibit unstable behavior when the modeling surfaces form a resonant cavity at a particular frequency. To avoid this, many moment method codes solve a linear combination of the EFIE and MFIE known as a ''Combined Field Integral Equation'' (CFIE). This requires more calculations to fill the matrix, but results in a more stable solution when the modeling surface is large enough to support an interior resonance.
+
A csak az EFIE vagy csak az MFIE megoldására épülő momentumok módszere instabillá válhat, amikor a vizsgált felület az adott frekvencián üregrezonátorként viselkedik. Ennek elkerüléséhez a momentumok módszer az EFIE és az MFIE egyenletek lineáris kombinációját, az úgynevezett ''kombinált térerősség integrálegyenletet'' (Combined Field Integral Equation - CFIE) oldja meg. Ennél nagyobb számítási kapacitásra van szükség a mátrix feltöltéséhez, de stabilabb megoldást eredményez, ha olyan felületet oldunk meg, ami kellően nagy, hogy belső rezonancia alakuljon ki.
  
−
Some CEM modeling codes employ the Method of Moments to solve other equations. For example, static modeling codes often solve a form of Laplace's equation relating electric field strengths to charge densities or magnetic field strengths to current densities. The Generalized Multiple Technique (GMT), which is described in another section of this report, employs a moment method to solve equations for the electric field generated by multipole sources.
+
Néhány elektromágneses szimulációs szoftver a momentumok módszerét más egyenletek megoldására használja. Például sztatikus feladatoknál használják a Laplace-egyenletként megfogalmazott problémák megoldására, ahol az elektromos térerősségből a töltéssűrűséget, vagy a mágneses térerősségből az áramsűrűséget számolják. Egy másik példa a ''Generalized Multipole Technique'' (GMT), ami a momentumok módszerét használja a többpólusú forrásokkal létrehozott elektromos tér meghatározására.
  
−
==== Basis and Weighting Function ====
+
==== Bázis- és súlyfüggvény ====
  
−
An appropriate choice of basis and weighting functions can make a tremendous difference in the number of elements, <math>N</math>, required to obtain an accurate solution. Since the solution is represented as a summation of basis functions, it is important to choose basis functions that accurately represent the solution with a small number of terms. For example, when solving for the current distribution on a surface, the basis functions should be current distribution elements that can be summed together in a way that is able to efficiently approximate any overall current distribution that might result from the analysis.
+
A bázis- és a súlyfüggvény megfelelő választása óriási különbséget eredményezhet az elfogadható pontosságú megoldáshoz szükséges <math>N</math> elemek számában. Mivel a megoldást a bázisfüggvények összegzésével kapjuk, fontos olyan bázisfüggvényt választani, amelyek kis szám esetében is pontosan leírja a megoldást. Például, amikor a felületi árameloszlást számoljuk, a bázisfüggvényeknek olyan árameloszlást leíró elemeknek kell lenniük, amelyeket összegezve megfelelően közelítik a feladatban fellépő lehetséges árameloszlásokat.
  
−
Weighting functions should be chosen that maximize the linear independence of the various weighted forms of the equation. Often, the best choices of weighting functions are functions that are identical to the basis functions. Moment method techniques that employ identical basis and weighting functions are called Galerkin techniques.
+
Súlyfüggvénynek olyan kell választani, ami maximalizálja az egyenlet különböző súlyozott formáinak lineáris függetlenségét. Gyakran a legjobb, ha a bázisfüggvénnyel azonos súlyfüggvényt választunk. A momentumok módszer technikáinál is, ha a bázisfüggvény és a súlyfüggvény azonosak azt Galjorkin-módszernek nevezzük.
 
</blockquote>
 
</blockquote>
  
−
== Wave Equations<ref>[https://www.wiley.com/en-us/Microwave+Engineering%2C+4th+Edition-p-9780470631553 D. M. Pozar - Microwave Engineering, John Wiley & Sons. Inc., 2012.]</ref> ==
+
== Hullámegyenlet<ref>[https://www.wiley.com/en-us/Microwave+Engineering%2C+4th+Edition-p-9780470631553 D. M. Pozar - Microwave Engineering, John Wiley & Sons. Inc., 2012.]</ref> ==
 
<blockquote>
 
<blockquote>
−
We will deal with the tim-harmonic case directly in terms of the electric and magnetic fields. For this, it is necessary to derive from Maxwell's equations, which involve both electric and magnetic fields, the governing differential equations involving only either field.
+
Itt a közvetlenül elektromos és mágneses térből előálló frekvenciatartománybeli egyenletekkel foglalkozunk. Ezeket szintén a Maxwell-egyenletekből kapjuk, amelyek mind az elektromos, mind a mágneses teret tartalmazza, amíg a hullámegyenlet mindig csak az egyik mennyiséget tartalmazza.
  
−
=== Vector Wave Equations ===
+
=== Hullámegyenlet ===
−
The differential equation for <math>\vec{E}</math> can be obtained by eliminating <math>\vec{H}</math> from time-harmonic Faraday's law and time-harmonic Maxwell-Ampére law with the aid of the constitutive relations. Doing this, one obtains
+
Az <math>\vec{E}</math> elektromos térerősségre a hullámegyenletet kapjuk, ha kiküszöböljük a <math>\vec{H}</math> mágneses térerősséget a I. és II. Maxwell-egyenletből a konstitúciós relációk segítségével. Ezt megtéve az elektromos térerősségre a hullámegyenlet
  
 
::<math>\nabla\times\left(\frac{1}{\mu}\nabla\times\vec{E}\right)-\omega^{2}\varepsilon\vec{E}=-j\omega\vec{J}</math>.
 
::<math>\nabla\times\left(\frac{1}{\mu}\nabla\times\vec{E}\right)-\omega^{2}\varepsilon\vec{E}=-j\omega\vec{J}</math>.
  
−
Similarly, one can eliminate <math>\vec{E}</math> to find the equation for  <math>\vec{H}</math> as
+
Hasonlóképpen, az <math>\vec{E}</math> elektromos térerősség kiküszöbölésével a mágneses térerősségre a hullámegyenlet
  
 
::<math>\nabla\times\left(\frac{1}{\varepsilon}\nabla\times\vec{H}\right)-\omega^{2}\mu\vec{H}=\nabla\times\left(\frac{1}{\varepsilon}\vec{J}\right)</math>.
 
::<math>\nabla\times\left(\frac{1}{\varepsilon}\nabla\times\vec{H}\right)-\omega^{2}\mu\vec{H}=\nabla\times\left(\frac{1}{\varepsilon}\vec{J}\right)</math>.
  
−
These equations are called ''inhomogenoius vector wave equations''. It is evident that the solution of <math>\vec{E}</math> field also satisfies magnetic Gauss's law, and the solution of <math>\vec{H}</math> field also satisfies electric Gauss's law.
+
Ezeket az egyenleteket inhomogén hullámegyenletnek nevezzük. Az <math>\vec{E}</math>-re kifejezett hullámegyenlet megoldása kielégíti a Gauss-törvényt és ugyanígy a <math>\vec{H}</math>-ra kifejezett hullámegyenlet megoldása kielégíti a fluxusmegmaradás törvényét.
 
</blockquote>
 
</blockquote>
  
 
==References==
 
==References==
 
{{reflist}}
 
{{reflist}}

Latest revision as of 17:01, 1 April 2020

Integrálegyenleteken alapuló módszerek / Hullámegyenlet

Oktató

  • Marcsa Dániel (óraadó)
  • Előadás: -
  • Fogadóóra: egyeztetés alapján

További oktatók:

  • -
  • Fogadóóra: -.

Integrálegyenleten alapuló módszerek[1]

Peremelem módszer (Boundary Element Method - BEM)[2]

Peremelem módszeren (BEM - Boundary Element Method) alapuló megoldók többsége a momentumok módszerét (MoM - Method of Moments) használja, hogy megoldja az EFIE (Electric Field Integral Equation), az MFIE (Magnetic Field Integral Equation) vagy a CFIE (Combined Field Integral Equation) egyenletrendszert, az elektromos és/vagy mágneses áramokat meghatározásához az egymástól eltérő anyagok közötti határfelületen. Emiatt sok esetben az EM szimulációs programot csak "momentumok módszerén" alapuló szoftverként jellemzik, holott a peremelem módszert használja.

BEM.png

1. ábra - Az egyenértékűség elve.

A peremelem módszer első lépése a probléma geometriájának leírása az azzal egyenértékű felületi áramok eloszlásaként homogén közegben (általában szabad térben). Amint az 1. ábrán látható, az objektum körüli tér az objektumra beeső térből, az objektumról visszavert térből és az objektumból származó térből áll össze. Az egyenértékűségi tétel azt állítja, hogy az objektumon kívüli téreloszlás pontosan leírható, ha eltávolítja az objektumot, és azzal egyenértékű elektromos és mágneses áramokkal helyettesítjük a határfelületen.

Mivel a peremelem módszernél is használt EFIE és MFIE sémák az árameloszlás esetében csak a homogén közegben érvényesek, a feladatban lévő összes objektumot el kell távolítani, és a határaiknak megfelelő (kezdetben ismeretlen) felületi áramokkal kell helyettesíteni.

Az alábbi egyenletek az EFIE és MFIE általános alakját mutatják, ahogy a peremelem módszert használó programok jellemzően alkalmazzák, amelyek csak fémes tárgyakat modelleznek (azaz nincs ekvivalens mágneses felületi áram);

[math]\vec{E}(\vec{r})=\frac{-j\eta}{4\pi k}\int_S\vec{J}_S(\vec{r}')\cdot\vec{G}_e(\vec{r},\vec{r}')\text{d}S'[/math],
[math]\vec{H}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi}\int_S\vec{J}_S(\vec{r}')\times\nabla'\vec{G}_m(\vec{r},\vec{r}')\text{d}S'[/math].

Ezekben az egyenletekben a [math]\int_S \text{d}S'[/math] felületre vett integrál az összes határfelületre vett integrálást jelenti. Azt érdemes figyelembe venni, hogy perem csak olyan helyeken létezik, ahol két különböző anyag között határfelület van, tehát a perem mérete korlátozott (azaz nincs integrálás a végtelenbe).

A fenti egyenletekben a [math]\vec{G}_e[/math] és a [math]\vec{G}_m[/math] tagok az elektromos és mágneses teret létrehozó áramokkal kapcsolatos függvények. A [math]\vec{G}_e[/math]-t és [math]\vec{G}_m[/math]-et Green-függvényeknek hívják, és központi szerepet játszanak a peremelem módszerben. A szabadtéri Green-függvény segítségével kifejezhetjük egy külön bázisfüggvénnyel leírt felületi áramok által létrehozott teret (pl.: egy felületdarab árama). Azonban, más Green-függvények is alkalmazhatók egy adott geometriára jellemző, összetettebb szerkezetből származó tér kifejezésére. Például egy vékony dielektrikummal bevont fémfelületekből álló geometriánál alkalmazható egy speciális Green-függvény, amely kifejezi az összevont fém-dielektrikum és dielektrikum-levegő határfelületekből származó teret. Ez jelentősen csökkentheti a probléma modellezéséhez szükséges felületi elemek számát.

Az összes Green-függvény közelíti a megoldást, aminek használhatóságának és pontosságának korlátot szab a frekvencia, a távolság és a geometria. A legtöbb peremelem módszer különböző Green-függvényeket alkalmaz, hogy modellezzék a feladat egyes részeit vagy az eltérő feladatokat.

Az általános célú 3D BEM kódok általában olyan bázis- és súlyfüggvényeket alkalmaznak, amelyek lineáris árameloszlást eredményeznek a háromszög vagy négyszögletes felületdarabokon. Általában két ismeretlen, két ortogonális (egymásra merőleges) áramvektor van felületdarabonként. A vékony vezetékeket hatékonyan leírhatóak egy ismeretlenes elemekkel, ahol az ismeretlen az árameloszlás amplitúdója vezetékdarabonként.

A pont-illesztési eljárásnál a bázis- és súlyfüggvényt Dirac-deltának választjuk, melyek jellemzően a felületelem középpontjában helyezkedik el. Az ugrásfüggvény-illesztési módszernél a bázis- és súlyfüggvényt állandó értéknek vesszük az egész felületelemen. A pontosabb megvalósításnál olyan bázis- és súlyfüggvényt alkalmaznak, amelynél folytonos az átmenet két szomszédos felületelem között. A Rao-Wilton-Glisson (RWG) bázisfüggvény a legelterjedtebben alkalmazott háromszög alakú felületelemeket alkalmazó programoknál. A téglalap alakú elemeket alkalmazó szoftverek jellemzően "háztető" (roof-top) bázisfüggvényt használnak.

Általában azok az elektromágneses szimulációs szoftverek, amelyek a peremelem módszeren alapulnak nagyon jók nyitott feladatok modellezésére, különösen akkor, ha ezen belül nincs szükség a nagyon összetett tartományok részletes modellezésére. A vonalakkal jól leírható szerkezetek nagyon hatékonyan modellezhetőek a peremelem módszerrel.

Az alábbi táblázat összegzi a BEM modellezés erősségeit és gyengeségeit. Fontos megjegyezni, hogy az egyes modellező szoftverek képességei erősen függenek a megoldandó integrált egyenlet formájától, a bázis- és súlyfüggvény megválasztásától, az alkalmazott Green-függvény(ek)től, valamint az egyenletrendszer megoldójától és az alkalmazott optimalizálási technikáktól.

Erősségek Gyengeségek
  • Kiváló a sugárzási feladatok modellezésében.
  • Kiváló a fémfelületek és vékony vezetékek modellezésére.
  • Jó a koncentrált paraméterű áramkörrel összekapcsolt szerkezetek modellezésében.
  • Nem modellezi jól az inhomogén vagy összetett anyagokatat.
  • Nem alkalmas olyan feladatok modellezésére, amelyekben a kis részek mellett nagyobb objektumok is vannak.
  • A rezonáns méretű zárt struktúrák modellezéséhez CFIE formalizmus szükséges.

Momentumok módszere (Method of Moments - MoM)[3]

Már 1960-ban, mások mellett R.F. Harrington is alkalmazott egy momentumok módszerének nevezett eljárást elektromágneses feladatok megoldására. A momentumok módszere egy eljárás, ami a feladatot lineáris egyenletrendszerré képezi le

[math]\mathcal{L}(\phi)=f[/math],

ahol a [math]\mathcal{L}(\bullet)[/math] funkcionál egy lineáris operátor, az [math]f[/math] az ismert gerjesztés vagy kényszer függvénye és a [math]\phi[/math] az ismeretlen mennyiség. Ahhoz, hogy számítógépen kezelhető feladatot kapjunk, a feladatot [math]N[/math] részre (2D - vonal, 3D - felület) felbontjuk, majd az ismeretlen függvényt ugyanennyi súlyozott bázisfüggvény ([math]v_n[/math]) összegeként kell közelíteni,

[math]\phi = \sum_{n=1}^{N}a_n v_n[/math],

ahol [math]a_n[/math] az ismeretlen együttható, ami a sorozat egyes tagjainak az amplitúdóját adja meg.

Ennek következtében, most nem egy egyenletünk van a [math]\phi[/math] ismeretlennel, hanem ehelyett [math]N[/math] darab skalár ismeretlen van,

[math]\mathcal{L}(a_1v_1+a_2v_2+\dots+a_Nv_N)=f[/math].

Ahhoz, hogy meghatározzuk [math]a_n[/math] értékeit, [math]N[/math] darab egymástól lineárisan független egyenletre van szükségünk; amihez [math]a_n[/math] különböző súly- vagy tesztfüggvényeket, [math]w_n[/math]-t alkalmazunk. Ennek következtében [math]N[/math] egyenletből álló egyenletrendszerünk van az [math]N[/math] ismeretlenhez:

[math] \begin{bmatrix} \langle w_1,\mathcal{L}(v_1)\rangle & \langle w_1,\mathcal{L}(v_2)\rangle & \cdots & \langle w_1,\mathcal{L}(v_N)\rangle \\ \langle w_2,\mathcal{L}(v_1)\rangle & \langle w_2,\mathcal{L}(v_2)\rangle & \cdots & \langle w_2,\mathcal{L}(v_N)\rangle \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle w_N,\mathcal{L}(v_1)\rangle & \langle w_N,\mathcal{L}(v_2)\rangle & \cdots & \langle w_N,\mathcal{L}(v_N)\rangle \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \langle w_1, f_1 \rangle \\ \langle w_2, f_2 \rangle \\ \vdots \\ \langle w_N, f_N \rangle \end{bmatrix}. [/math]

A fenti összefüggés lineáris egyenletrendszerként a következő lesz

[math]\textbf{A}\textbf{x}=\textbf{b}[/math],

ahol az [math]\textbf{A}[/math] mátrix elemei ismert értékek, amelyeket a [math]\mathcal{L}(\bullet)[/math] lineáris operátorból és a kiválasztott bázis- és súlyfüggvények segítségével számítható. A \textbf{b} elemeit az ismert gerjesztési függvényből és a súlyfüggvényből lehet meghatározni. A [math]\textbf{x}[/math] vektor ismeretlen elemeit az egyenletrendszer megoldásával kapjuk. Az [math]\textbf{x}[/math] mátrix elemeinek (azaz az ismeretlen együtthatók, [math]a_n[/math]) meghatározása után, a [math]\phi[/math] értékét a [math]\phi = \sum_{n=1}^{N}a_n v_n[/math] egyenlet segítségével számítjuk.

A momentumok módszere (MoM) az egyenletek széles skálájának megoldására alkalmazható, ideértve az integrál- és a differenciálegyenleteket. Ennek a numerikus technikának az elektromágneses modellezésen kívül sok egyéb alkalmazása van, azonban a MoM-ot széles körben a Maxwell-egyenletekből származó egyenletek megoldására használják. Általánosságban elmondható, hogy a MoM-ra épülő megoldók nagy, sűrű mátrix egyenleteket generálnak és oldanak meg, és a szükséges számítási erőforrások nagy részét ennek a mátrix egyenletnek a asszemblálására és megoldására fordítják. A megoldandó egyenletek alakja, valamint az bázis- és a súlyfüggvények megválasztása nagy befolyással bír ennek a mátrixnak a méretére, és végül a MoM megoldó alkalmasságára egy adott geometria modellezésénél.

Elektromos- és mágneses térerősség integrálegyenlet

A momentumok módszerét használó programcsomagok legelterjedtebben az elektromos térerősség integrálegyenletet (Electric Field Integral Equation - EFIE) oldják meg. Ennek az általános alakja

[math]\vec{E}=f_e(\vec{J},\vec{M})[/math],

ahol [math]\vec{E}[/math] a beiktatott (azaz forrás) elektromos térerősség és a [math]\vec{J}[/math] és a [math]\vec{M}[/math] az indukált elektromos és mágneses áramsűrűség. Az EFIE-ről a peremelem módszernél is említést tettünk. Általában az elektromos térerősség integrálegyenletet használó programok kitűnőek a nyitott feladatok modellezésére, ha a forrás közelében (a közelterében) az elektromos térerősség a jelentősebb.

Egy másik egyenlet, amit a momentumok módszere segítségével megoldunk a mágneses térerősség integrálegyenlet (Magnetic Field Integral Equation - MFIE), aminek az általános alakja,

[math]\vec{H}=f_m(\vec{J},\vec{M})[/math],

ahol [math]\vec{H}[/math] a beiktatott (azaz forrás) mágneses térerősség. Az örvényáramú feladatoknál, ahol a mágneses térerősség jelentősebb a közeltérnél a mágneses térerősség integrálegyenletet alkalmazzák a programok.

A csak az EFIE vagy csak az MFIE megoldására épülő momentumok módszere instabillá válhat, amikor a vizsgált felület az adott frekvencián üregrezonátorként viselkedik. Ennek elkerüléséhez a momentumok módszer az EFIE és az MFIE egyenletek lineáris kombinációját, az úgynevezett kombinált térerősség integrálegyenletet (Combined Field Integral Equation - CFIE) oldja meg. Ennél nagyobb számítási kapacitásra van szükség a mátrix feltöltéséhez, de stabilabb megoldást eredményez, ha olyan felületet oldunk meg, ami kellően nagy, hogy belső rezonancia alakuljon ki.

Néhány elektromágneses szimulációs szoftver a momentumok módszerét más egyenletek megoldására használja. Például sztatikus feladatoknál használják a Laplace-egyenletként megfogalmazott problémák megoldására, ahol az elektromos térerősségből a töltéssűrűséget, vagy a mágneses térerősségből az áramsűrűséget számolják. Egy másik példa a Generalized Multipole Technique (GMT), ami a momentumok módszerét használja a többpólusú forrásokkal létrehozott elektromos tér meghatározására.

Bázis- és súlyfüggvény

A bázis- és a súlyfüggvény megfelelő választása óriási különbséget eredményezhet az elfogadható pontosságú megoldáshoz szükséges [math]N[/math] elemek számában. Mivel a megoldást a bázisfüggvények összegzésével kapjuk, fontos olyan bázisfüggvényt választani, amelyek kis szám esetében is pontosan leírja a megoldást. Például, amikor a felületi árameloszlást számoljuk, a bázisfüggvényeknek olyan árameloszlást leíró elemeknek kell lenniük, amelyeket összegezve megfelelően közelítik a feladatban fellépő lehetséges árameloszlásokat.

Súlyfüggvénynek olyan kell választani, ami maximalizálja az egyenlet különböző súlyozott formáinak lineáris függetlenségét. Gyakran a legjobb, ha a bázisfüggvénnyel azonos súlyfüggvényt választunk. A momentumok módszer technikáinál is, ha a bázisfüggvény és a súlyfüggvény azonosak azt Galjorkin-módszernek nevezzük.

Hullámegyenlet[4]

Itt a közvetlenül elektromos és mágneses térből előálló frekvenciatartománybeli egyenletekkel foglalkozunk. Ezeket szintén a Maxwell-egyenletekből kapjuk, amelyek mind az elektromos, mind a mágneses teret tartalmazza, amíg a hullámegyenlet mindig csak az egyik mennyiséget tartalmazza.

Hullámegyenlet

Az [math]\vec{E}[/math] elektromos térerősségre a hullámegyenletet kapjuk, ha kiküszöböljük a [math]\vec{H}[/math] mágneses térerősséget a I. és II. Maxwell-egyenletből a konstitúciós relációk segítségével. Ezt megtéve az elektromos térerősségre a hullámegyenlet

[math]\nabla\times\left(\frac{1}{\mu}\nabla\times\vec{E}\right)-\omega^{2}\varepsilon\vec{E}=-j\omega\vec{J}[/math].

Hasonlóképpen, az [math]\vec{E}[/math] elektromos térerősség kiküszöbölésével a mágneses térerősségre a hullámegyenlet

[math]\nabla\times\left(\frac{1}{\varepsilon}\nabla\times\vec{H}\right)-\omega^{2}\mu\vec{H}=\nabla\times\left(\frac{1}{\varepsilon}\vec{J}\right)[/math].

Ezeket az egyenleteket inhomogén hullámegyenletnek nevezzük. Az [math]\vec{E}[/math]-re kifejezett hullámegyenlet megoldása kielégíti a Gauss-törvényt és ugyanígy a [math]\vec{H}[/math]-ra kifejezett hullámegyenlet megoldása kielégíti a fluxusmegmaradás törvényét.

References

  1. ↑ R. F. Harrington - Time Harmonic Electromagnetic Fields, New York, McGraw Hill, 1961.
  2. ↑ CVEL - Electromagnetic Modeling (BEM)
  3. ↑ CVEL - Electromagnetic Modeling (MoM)
  4. ↑ D. M. Pozar - Microwave Engineering, John Wiley & Sons. Inc., 2012.
Retrieved from "http://wiki.maxwell.sze.hu/index.php?title=4._lecke&oldid=1903"