Difference between revisions of "Feladat 5"

Revision as of 17:32, 13 October 2020 (view source) Marcsa (talk | contribs) (→‎A hővezetés differenciálegyenlete) ← Older edit		Latest revision as of 17:36, 21 February 2022 (view source) Marcsa (talk | contribs) (→‎Szoftverek használatának bemutatása)
(161 intermediate revisions by the same user not shown)
Line 19:		Line 19:
	=== A feladat célja ===		=== A feladat célja ===
−	A hallgatók elsajátítsák az elektromágneses térszámítás alapjait, főbb lépéseit, valamint gyakorlatot szerezzen az eredmények kiértékelésében a [http://www.femm.info/wiki/HomePage FEMM] vagy az [http://www.agros2d.org/ Agros2D] szoftver segítségével.  Ezen túl a nemzetközi elvárásoknak megfelelő Műszaki Jelentés (Technical Report) írásában is gyakorlatot szerezzen.	+	A hallgatók elsajátítsák az elektromágneses térszámítás alapjait, főbb lépéseit, valamint gyakorlatot szerezzen az eredmények kiértékelésében a [http://www.femm.info/wiki/HomePage FEMM] vagy az [http://www.agros2d.org/ Agros2D] vagy az [https://www.ansys.com/academic/students/ansys-electronics-desktop-student Ansys Maxwell] szoftver segítségével.  Ezen túl a nemzetközi elvárásoknak megfelelő Műszaki Jelentés (Technical Report) írásában is gyakorlatot szerezzen.
−	A feladat egy söntellenállásnál meghatározni a feszültségesést, az ellenállást és a keletkező veszteségeket adott áramerősség mellett.	+	A feladat egy háromfázisú kábel (lásd '''[[Feladat 4]]''') egyik vezetőjében kialakuló hőmérsékleteloszlás meghatározása a vezetékben létrejövő veszteség ismeretében.
	=== A feladat megoldásához szükséges ismeretek ===		=== A feladat megoldásához szükséges ismeretek ===
	* A végeselem-módszer lépései;		* A végeselem-módszer lépései;
−	* A stacionárius áramlási térre vonatkozó elméleti ismeretek (anyagok definiálásához, gerjesztés és peremfeltétel megadásához);	+	* A stacionárius hőáramlásra vonatkozó elméleti ismeretek (anyagok definiálásához, gerjesztés és peremfeltétel megadásához) ['''Ebben segítséget nyújt a lenti el elméleti összefoglaló.'''];
−	* A [http://www.femm.info/wiki/HomePage FEMM] vagy [http://www.agros2d.org/ Agros2D] szoftver alapszintű kezelése.	+	* Az [https://www.ansys.com/academic/students/ansys-electronics-desktop-student Ansys Electronics Desktop Student] szoftver alapszintű kezelése.
	=== A feladat ===		=== A feladat ===
Line 34:		Line 34:
	{| class="wikitable"		{| class="wikitable"
	| '''Leadási határidő:'''		| '''Leadási határidő:'''
−	| '''nappali''' - 2020. december 5. 23:59 / '''távoktatás''' - 2020. december 5. 23:59	+	| '''nappali''' - 2020. december 5. 23:59 / '''távoktatás''' - 2021. december 19. 23:59
	|-		|-
	| '''Leadás formája:'''		| '''Leadás formája:'''
−	| A szimulációs fájlt (FEMM - *.feh; Agros2D - *.a2d) tömörítve (.zip formátumban).<br />Az összefoglalót PDF formátumban. A színes ábrákat úgy kell elkészíteni, hogy fekete-fehérben kinyomtatva is világos legyen a tartalmuk az olvasó számára.	+	| A szimulációs fájlt (*.aedt) tömörítve (.zip formátumban).<br />Az összefoglalót PDF formátumban. A színes ábrákat úgy kell elkészíteni, hogy fekete-fehérben kinyomtatva is világos legyen a tartalmuk az olvasó számára.
	|-		|-
	| '''Benyújtás nyelve:'''		| '''Benyújtás nyelve:'''
Line 63:		Line 63:
	== Feladat I. része ==		== Feladat I. része ==
−	==== Rezisztencia és veszteség számítása végeselem-módszerrel ====	+	=== A vezetőben kialakuló hőmérsékleteloszlás számítása végeselem-módszerrel ===
−	A kapott sorszám alapján a feladat geometriájának méreteit a következő táblázatban találja: [https://docs.google.com/spreadsheets/d/14OkGI9KyXiyaVAlQIdBgWTfDiy-I7YwrCAIGQxowkr4/edit?usp=sharing '''Feladat #3 méretei'''].	+	A kapott sorszám alapján a feladat geometriájának méreteit a következő táblázatban találja: [https://docs.google.com/spreadsheets/d/12Mem9HXSISiKsP9Juty1ZvLWhpzoyQLcxZeNZ_d-4T0/edit?usp=sharing '''Feladat #4 méretei'''].
−	A feladat: meghatározni az elrendezés esetében a feszültségesést, a rezisztenciát és az ohmos veszteséget.<br \>	+	A feladat: meghatározni a hőmérsékleteloszlást az elrendezés tetszőlegesen választott vezetőjében a veszteség '''50 Hz-en''' és '''500 Hz-en''' számolt értékének esetére.<br \>
−	A feszültségesés az elrendezés két kapcsa között lévő potenciálkülönbség. A rezisztenciát az Ohm-törvény segítségével tudja meghatározni:	+
		+	{| class="wikitable"  style="text-align: center; width: 400px; height: 80px;"
		+	|+ Az anyagtulajdonságok.
		+	! Anyag
		+	! Réz
		+	! PVC
		+	|-
		+	! <math>\rho~[\text{kg}/\text{m}^3]</math>
		+	| 8960 || 1380
		+	|-
		+	! <math>c_{\text{P}}~[\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})]</math>
		+	| 383 || 1172
		+	|-
		+	! <math>\lambda~[\text{W}/(\text{m}\cdot\text{K})]</math>
		+	| 401 || 0,2
		+	|}
		+
		+	A FEMM szoftver esetében a térfogatra vonatkoztatott hőkapacitást (''Volumetric heat capacity'') kell megadni. Ezt a hőkapacitás (<math>c_{\text{P}}</math>) és a sűrűség (<math>\rho</math>) szorzata adja:
−	<math>R = \frac{U}{I}</math>,	+	<math>c_{\text{PV}} = c_{\text{P}} \cdot \rho </math> <math>\Bigg[\frac{\text{J}}{\text{m}^3\cdot\text{K}}\Bigg]</math>.
		+
		+	Azonban mivel időben állandó feladatról van szó, ezért nem szükséges a megadása.
		+
		+	A feladat gerjesztése (<math>q_V</math>) az egységnyi térfogatra vett veszteség, amit nem más, mint az örvényáram-veszteség és a vezető térfogatának hányadosa:.
		+
		+	<math>q_V = \frac{P_{\text{ec}}}{V_{\text{vezető}}} \Bigg[\frac{\text{W}}{\text{m}^3}\Bigg]</math>,
−	majd a veszteség	+	ahol <math>P_{\text{ec}}</math> az örvényáram okozta veszteség a vezetőben, <math>V</math> pedig az egységnyi hosszú vezető térfogata.
−		+
−	<math>P = I^2\cdot R</math>	+	A feladat külső felületére a peremfeltételnek hőszállítást (konvekciót) (''Neumann-peremfeltétel'') írunk elő:
−	képlettel, ahol <math>U</math> a feszültségesés, <math>I</math> az áramerősség, <math>R</math> a rezisztencia.	+	<math>-\lambda\cdot\frac{\partial T}{\partial n} = \alpha\cdot(T_{\text{külső}} - T)</math>,
−	''A <math>z-</math>irányú hossza (vastagsága) a feladatnak minden esetben <math>5\,\text{mm}</math> legyen.''	+	ahol <math>\lambda~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}\cdot\text{K}}\Big]</math> a hővezetési tényező, <math>T_{\text{külső}}</math> a környezeti hőmérséklet és <math>\alpha~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}\Big]</math> a hőátadási tényező. Ennél a feladatnál <math>T_{\text{külső}} = 22°\text{C} = 295,15~\text{K}</math> és <math>\alpha = 9~\tfrac{\text{W}}{(\text{m}^2\cdot\text{K})}</math> legyen, amit használunk. A valóságban <math>\alpha</math> egy hőmérsékletfüggő paraméter.
−	{| class="wikitable"  style="text-align: center; width: 1000px; height: 80px;"	+	''A <math>z-</math>irányú hossza a feladatnak minden esetben <math>1\,\text{m}</math> legyen és a szigetelő (PVC) vastagsága <math>4,2\,\text{mm}</math>.''
−	|+ Az anyagok fajlagos vezetése.
−	! Anyag
−	! Titánium
−	! Réz
−	! Aluminium
−	! Réz mangán
−	|-
−	! <math>\sigma~[\text{MS/m}]</math>
−	| 1,789 || 58 || 36,9 || 20,833
−	|}
	'''Elvégzendő feladatok'''		'''Elvégzendő feladatok'''
−	* A megadott paraméterek alapján elkészíteni a síkbeli (''planar'') feladat geometriáját a [http://www.femm.info/wiki/HomePage FEMM] vagy [http://www.agros2d.org/ Agros2D] szoftverek valamelyikében;	+	* A megadott paraméterek alapján elkészíteni a síkbeli (''planar'') feladat geometriáját az [https://www.ansys.com/academic/students/ansys-electronics-desktop-student Ansys Electronics Desktop Student] szoftverben;
	* Az anyagtulajdonságok, a gerjesztés és a peremfeltételek megadása;		* Az anyagtulajdonságok, a gerjesztés és a peremfeltételek megadása;
	* A FEM szimuláció futtatása;		* A FEM szimuláció futtatása;
−	* Az eredmények kiértékelése, ha a <math>z-</math>irányú hossza a feladatnak minden esetben <math>5\,\text{mm}</math>.	+	* Az eredmények kiértékelése:
		+	** Vezető átlaghőmérséklete <math>50~\text{Hz}</math> és <math>500~\text{Hz}</math> esetében;
		+	** A vezető keresztmetszetében (pl. <math>X = -20,2~\text{mm}~\dots~20,2~\text{mm}</math>) a hőáramsűrűség kirajzoltatása.
−	A [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1mv7rsx6ODZOoSdl6ZZzk0bpnLxiJzT-SUmMuwxzpgK4/edit?usp=sharing táblázatban] található méretek jelentését az alábbi ábrák mutatják. A táblázatban a 2. oszlop jelöli a változat számát.	+	A [https://docs.google.com/spreadsheets/d/12Mem9HXSISiKsP9Juty1ZvLWhpzoyQLcxZeNZ_d-4T0/edit?usp=sharing táblázatban] található méretek jelentését az alábbi ábrák mutatják. A táblázatban a 2. oszlop jelöli a változat számát. ''A kapott feladat teljesen azonos a [[Feladat 4]] esetében kapott feladattal.''
		+	=== Szoftverek használatának bemutatása ===
		+	A '''[[Feladat 4]]'''-nél, az 1. ábrán látható elrendezésből a középső (<math>L_2</math>) vezető szimulációján keresztül ismertetem az önálló feladat megoldásának menetét. A feladathoz készült videók segítségével elsajátítható a feladat beállítása, az anyagtulajdonságok, a peremfeltételek és a gerjesztés megadása. Majd a megoldást követően a térváltozók megjelenítése és a feladathoz kapcsolódó számítandó mennyiségek meghatározása.
		+
		+	{| class = "wikitable" style = "text-align: center; width: 800px; height: 100px;"
		+	|+ Az eredmények összehasonlítása 50 Hz esetében.
		+	! Szoftver
		+	! FEMM
		+	! Agros2D
		+	! Maxwell 2D<br />&<br />AEDT Thermal (3D)
		+	! Maxwell 2D<br />&<br />Steady-State Thermal (2D)
		+	|-
		+	! Veszteség [<math>\text{W}</math>]
		+	| 18,68 || 18,72 || 18,88 || 18,88
		+	|-
		+	! Hőmérséklet [<math>°\text{C}</math>]
		+	| 41,82 || 41,86 || 42,03 || 42,09
		+	|}
		+
		+	{| class = "wikitable" style = "text-align: center; width: 800px; height: 100px;"
		+	|+ Az eredmények összehasonlítása 500 Hz esetében.
		+	! Szoftver
		+	! FEMM
		+	! Agros2D
		+	! Maxwell 2D<br />&<br />AEDT Thermal (3D)
		+	! Maxwell 2D<br />&<br />Steady-State Thermal (2D)
		+	|-
		+	! Veszteség [<math>\text{W}</math>]
		+	| 50,40 || 50,47 || 51,39 || 51,39
		+	|-
		+	! Hőmérséklet [<math>°\text{C}</math>]
		+	| 75,47 || 75,55 || 76,53 || 76,68
		+	|}
−	{| width=80%	+	{| width=100%
	|-		|-
	| align=center |		| align=center |
−	[[File:01 ShuntResistor.png|550px]]	+	[[File:Feladat5_FEMM_50Hz_Temp.png|350px]]
	| align=center |		| align=center |
−	[[File:02 ShuntResistor.png|550px]]	+	[[File:Feladat5_Agros2D_50Hz_Temp.png|350px]]
	|-		|-
−	|align=center | <span style="font-size:88%;">'''Feladat #3 - 1. változat.'''</span>	+	|align=center | <span style="font-size:88%;">'''FEMM - A hőmérsékleteloszlás és a hőáramsűrűség vektorok 50 Hz esetében.'''</span>
−	|align=center | <span style="font-size:88%;">'''Feladat #3 - 2. változat.'''</span>	+	|align=center | <span style="font-size:88%;">'''Agros2D - A hőmérsékleteloszlás és a hőáramsűrűség vektorok 50 Hz esetében.'''</span>
	|-		|-
	| align=center |		| align=center |
−	[[File:03 ShuntResistor.png|550px]]	+	[[File:MechanicalThermal 50Hz Temp.png|350px]]
	| align=center |		| align=center |
−	[[File:04 CurrentConduction Materials.png|550px]]	+	[[File:Feladat5 SteadyStateThermal 50Hz Temp.png|350px]]
	|-		|-
−	|align=center | <span style="font-size:88%;">'''Feladat #3 - 3. változat.'''</span>	+	|align=center | <span style="font-size:88%;">'''AEDT Mechanical Thermal - A hőmérsékleteloszlás és a hőáramsűrűség vektorok 50 Hz esetében.'''</span>
−	|align=center | <span style="font-size:88%;">'''Feladat #3 - anyagok.'''</span>	+	|align=center | <span style="font-size:88%;">'''Workbench Steady-State Thermal - A hőmérsékleteloszlás és a hőáramsűrűség vektorok 50 Hz esetében.'''</span>
	|}		|}
−
−	==== Szoftverek használatának bemutatása ====
−	Az 1. ábrán látható feladat megoldásán keresztül röviden bemutatom az előadáson és az önálló feladat során használandó szoftvereket. A feladathoz készült videók segítségével elsajátítható a feladat beállítása, a geometria rajzolása, az anyagtulajdonságok, a peremfeltételek és a gerjesztés megadása. Majd a megoldást követően a térváltozók megjelenítése és a feladathoz kapcsolódó számítandó mennyiségek meghatározása. A feladatban az áramerősség <math>400~\text{A}</math>.
−
−	A mintdapéldához nincs a levegő berajzolva. Ennek méretei a videókban megtalálhatóak, de akár gyakorlásképpen ellenőrizhető, hogyan befolyásolja a kapacitás értékét (az eredményt) a lezárás mérete.
	{| width=100%		{| width=100%
	|-		|-
	| align=center |		| align=center |
−	[[Image:05 StacionariusAramlas Mintapelda.png|650px]]	+	[[Image:Feladat5 HeatFlux Line.png|800px]]
	|-		|-
−	|align=center | <span style="font-size:88%;>''' ''Ábra 1.'' - A mintapélda és geometriai méretei.'''</span>	+	|align=center | <span style="font-size:88%;>''' ''Ábra 1.'' - A hőáramsűrűség a vezeték keresztmetszetében.'''</span>
−	|}
−
−	{| class="wikitable"  style="text-align: center; width: 1000px; height: 80px;"
−	|+ Az eredmények összehasonlítása.
−	! Szoftver
−	! FEMM
−	! Agros2D
−	! Maxwell 2D
−	! Maxwell 3D
−	! Q3D Extractor
−	! Discovery AIM
−	! Discovery Live
−	|-
−	! Potenciálkülönbség [mV]
−	| 8,025 || 8,049 || - || 8,028 || 8,022 || - || -
−	|-
−	! Rezisztencia [<math>\mu\Omega</math>]
−	| 20,064 || 20,125 || 20,071 || 20,056 || 20,054 || - || -
−	|-
−	! Veszteség [W]
−	| 3,21 || 3,22 || 3,21 || 3,21 || 3,21 || - || -
	|}		|}
		+
		+	Az Ábra 1-en látható görbéknél a ''uniform'' annyit jelent, hogy a vezető keresztmetszetében a veszteséget egyenletes eloszlásunak vettem. A két eset, ahol ez nem szerepel, ott pedig a tényleges veszteségeloszlással számoltam. Ez a különbség ennél a példánál nem okoz számottevő eltérést a hőmérsékleteloszlásban, azonban ez általánosságban nem igaz.
	'''Videók a szoftverek használatához'''		'''Videók a szoftverek használatához'''
−	* [ FEMM]	+	* [ Ansys Icepak]
−	* [ Agros2D]	+	* [ Ansys Mechanical]
−	* [ Ansys Maxwell 2D]
−	* [ Ansys Maxwell 3D]
−	* [ Ansys Q3D Extractor]
−	==== A hővezetés differenciálegyenlete ====	+	=== A hővezetés differenciálegyenlete<ref>Szabó I., Áramlástan, műszaki hőtan, Tankönyvkiadó, Budapest, 1973.</ref><ref>Imre L., Villamos gépek és eszözök melegedése és hűtése - 2. Bevezetés a hőátviteli folyamatok elméletébe, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1982.</ref> ===
	A hővezetés általános differenciálegyenletéhez az energimegmaradás tételét a hővezetés jelenségére alkalmazva jutunk.<br \>		A hővezetés általános differenciálegyenletéhez az energimegmaradás tételét a hővezetés jelenségére alkalmazva jutunk.<br \>
Line 168:		Line 188:
	<math>m = \int_{V}\rho~\text{d}V</math>,		<math>m = \int_{V}\rho~\text{d}V</math>,
−	ahol <math>\rho</math> a sűrűség [<math>\text{kg}/\text{m}^3</math>].<br \>	+	ahol <math>\rho~\Big[\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\Big]</math> a sűrűség.<br \>
	A tömeg hőmérsékletének <math>\text{d}T</math> értékkel való növelése <math>\text{d}\tau</math> idő alatt <math>\text{d}Q</math> hőmennyiség közlése mellett történik. A hőmérséklet idő szerinti változása		A tömeg hőmérsékletének <math>\text{d}T</math> értékkel való növelése <math>\text{d}\tau</math> idő alatt <math>\text{d}Q</math> hőmennyiség közlése mellett történik. A hőmérséklet idő szerinti változása
Line 177:		Line 197:
	<math>\text{d}Q = \text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V</math>,		<math>\text{d}Q = \text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V</math>,
−	ahol <math>c</math> az anyag helytől függő fajhője.<br \>	+	ahol <math>c~\Big[\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\Big]</math> az anyag helytől függő fajhője.<br \>
	A közölt hőmennyiség származhat a vizsgált térrészen belül elhelyezkedő hőforrásból (<math>\text{d}Q_1</math>), vagy érkezhet a vizsgált tartományt határoló felületen keresztül hővezetéssel (<math>\text{d}Q_2</math>). A két hőmennyiség összege a felmelegítésre fordított hőmennyiséggel egyenlő:		A közölt hőmennyiség származhat a vizsgált térrészen belül elhelyezkedő hőforrásból (<math>\text{d}Q_1</math>), vagy érkezhet a vizsgált tartományt határoló felületen keresztül hővezetéssel (<math>\text{d}Q_2</math>). A két hőmennyiség összege a felmelegítésre fordított hőmennyiséggel egyenlő:
Line 183:		Line 203:
	<math>\text{d}Q = \text{d}Q_1 + \text{d}Q_2</math>.		<math>\text{d}Q = \text{d}Q_1 + \text{d}Q_2</math>.
−	Hőforrásként jelentkezhet a közegben például az elektromos áram hőhatása. A hőforráseloszlás (<math>q_V</math>) ismeretében a vizsgált <math>V</math> térrészben <math>\text{d}\tau</math> idő alatt keletkező hőmennyiség:	+	Hőforrásként jelentkezhet a közegben például az elektromos áram hőhatása. A hőforráseloszlás <math>\biggl(q_V~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^3}\Big]\biggr)</math> ismeretében a vizsgált <math>V</math> térrészben <math>\text{d}\tau</math> idő alatt keletkező hőmennyiség:
	<math>\text{d}Q_1 = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V</math>.		<math>\text{d}Q_1 = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V</math>.
Line 191:		Line 211:
	<math>\text{d}Q_2 = -\text{d}\tau\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S}</math>,		<math>\text{d}Q_2 = -\text{d}\tau\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S}</math>,
−	ahol <math>\vec{q}</math> a hőáramsűrűség vektora. Az <math>S</math> felület normálisát pozitívnak tekintjük, ha a vizsgált térrészből kifelé mutat. A negatív előjel azért szükséges, mert a <math>\text{d}Q_2</math> hőmennyiséget akkor tekintjük pozitívnak, ha az a vizsgált térrészben lévő tömeg hőmérsékletét növeli. Azonban a felület normálisának iránya miatt (''kifelé mutat'') a térrészbe belépő hőmennyiség negatív értéként adódik.	+	ahol <math>\vec{q}~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}\Big]</math> a hőáramsűrűség vektora. Az <math>S</math> felület normálisát pozitívnak tekintjük, ha a vizsgált térrészből kifelé mutat. A negatív előjel azért szükséges, mert a <math>\text{d}Q_2</math> hőmennyiséget akkor tekintjük pozitívnak, ha az a vizsgált térrészben lévő tömeg hőmérsékletét növeli. Azonban a felület normálisának iránya miatt (''kifelé mutat'') a térrészbe belépő hőmennyiség negatív értéként adódik.
	A hőmérsékletek azonosságát kifejező egyenletbe helyettesítve:		A hőmérsékletek azonosságát kifejező egyenletbe helyettesítve:
Line 198:		Line 218:
	Ez az összefüggés azt mutatja, hogy az <math>S</math> felület által határolt <math>V</math> térfogatban lévő közeg belső energiájának a vizsgált <math>\text{d}\tau</math> idő alatt történő megváltozása az <math>S</math> felületen keresztül vezetéssel belépő ls kilépő hőmennyiségek eredőjéből, valamint a <math>V</math> térfogaton belül elhelyezkedő hőforrás által szolgáltatott hőmennyiségből adódik.<br \>		Ez az összefüggés azt mutatja, hogy az <math>S</math> felület által határolt <math>V</math> térfogatban lévő közeg belső energiájának a vizsgált <math>\text{d}\tau</math> idő alatt történő megváltozása az <math>S</math> felületen keresztül vezetéssel belépő ls kilépő hőmennyiségek eredőjéből, valamint a <math>V</math> térfogaton belül elhelyezkedő hőforrás által szolgáltatott hőmennyiségből adódik.<br \>
−	A Gauss-Osztrogradszkij tétel értelmében a jobb oldal második tagja átalakítható:	+	A Gauss-Osztrogradszkij-tétel értelmében a jobb oldal második tagja átalakítható:
	<math>\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S} = \int_{V} \nabla\cdot\vec{q}~\text{d}V</math>,		<math>\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S} = \int_{V} \nabla\cdot\vec{q}~\text{d}V</math>,
−	amit visszahelyettesítve	+	amit visszahelyettesítve és átrendezve a következő egyenletre vezet:
		+
		+	<math>\text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V -\text{d}\tau\int_{V} \nabla\cdot\vec{q}~\text{d}V \rightarrow \text{d}\tau\int_{V} \big(c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} - q_V + \nabla\cdot\vec{q}\big)~\text{d}V = 0</math>.
		+
		+	Figyelembe véve azt, hogy az integrál zérus értéke az integrandusz zérus voltát jelenti, tehát
		+
		+	<math>c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} - q_V + \nabla\cdot\vec{q} = 0</math>.
		+
		+	Egy szilárd testben, amelyben a hő kizárólag vezetés útján terjed, a <math>\vec{q}</math> hőáramsűrűség valamely helyen a hely környezetében uralkodó hőmérsékleteloszlás alapján megállapítható. A legnagyobb hőmérsékletváltozás irányába mutató gradiens vektor és a <math>\vec{q}</math> hőáramsűrűség vektor iránya megegyezik. Azonban a tapasztalat szerint a hő mindig a csökkenő hőmérséklet irányába áramlik, tehát a a hőmérsékletgradiens vektor és a <math>\vec{q}</math> hőáramsűrűség vektor értelme ellentétes. A hőáramsűrűség vektor abszolút értéke az egységnyi elmozdulásra jutó hőmérsékletcsökkenéssel , azaz a gradiens vektor abszolút értékével arányos. A kettő közötti arányossági tényező az adott anyag <math>\lambda~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}\cdot\text{K}}\Big]</math> hővezetési tényezője. A leírtak alapján, az úgynevezett '''Fourier-törvény''':
		+
		+	<math>\vec{q} = \lambda\cdot(-\nabla~T) = -\lambda\cdot \nabla~T</math>.
		+
		+	Ezt az összefüggést felhasználva a hővezetés általános differenciálegyenlete:
		+
		+	<math>-\nabla(\lambda\cdot \nabla~T) + c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} = q_V</math>.
		+
		+	További egyszerűsítést jelent az esetünkben, hogy stacionárius hőáramlásról van szó, azaz nincs időbeli változás
		+
		+	<math>-\nabla(\lambda\cdot \nabla~T) = q_V</math>.
−	<math>\text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V -\text{d}\tau\int_{V} \nabla\cdot\vec{q}~\text{d}V</math>	+	A feladatmegoldás során ezt a '''Poisson-egyenletet''' oldjuk meg, ahol <math>q_V~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^3}\Big]</math> az egységnyi térfogatban keletkező veszteség.
	== Feladat II. része ==		== Feladat II. része ==

---

Latest revision as of 17:36, 21 February 2022

Feladat #5 - Stacionárius hőáramlás Contents  [hide]  1 A feladat célja 2 A feladat megoldásához szükséges ismeretek 3 A feladat 4 Feladat I. része 4.1 A vezetőben kialakuló hőmérsékleteloszlás számítása végeselem-módszerrel 4.2 Szoftverek használatának bemutatása 4.3 A hővezetés differenciálegyenlete[1][2] 5 Feladat II. része 6 Hivatkozások
Oktató Marcsa Dániel (óraadó) Előadás: - Fogadóóra: egyeztetés alapján	További oktatók: - Fogadóóra: -.

A feladat célja

A hallgatók elsajátítsák az elektromágneses térszámítás alapjait, főbb lépéseit, valamint gyakorlatot szerezzen az eredmények kiértékelésében a FEMM vagy az Agros2D vagy az Ansys Maxwell szoftver segítségével. Ezen túl a nemzetközi elvárásoknak megfelelő Műszaki Jelentés (Technical Report) írásában is gyakorlatot szerezzen.

A feladat egy háromfázisú kábel (lásd Feladat 4) egyik vezetőjében kialakuló hőmérsékleteloszlás meghatározása a vezetékben létrejövő veszteség ismeretében.

A feladat megoldásához szükséges ismeretek

• A végeselem-módszer lépései;
• A stacionárius hőáramlásra vonatkozó elméleti ismeretek (anyagok definiálásához, gerjesztés és peremfeltétel megadásához) [Ebben segítséget nyújt a lenti el elméleti összefoglaló.];
• Az Ansys Electronics Desktop Student szoftver alapszintű kezelése.

A feladat

A feladat két részből áll, a szimulációból és az összefoglaló elkészítéséből.

Leadási határidő:	nappali - 2020. december 5. 23:59 / távoktatás - 2021. december 19. 23:59
Leadás formája:	A szimulációs fájlt (*.aedt) tömörítve (.zip formátumban). Az összefoglalót PDF formátumban. A színes ábrákat úgy kell elkészíteni, hogy fekete-fehérben kinyomtatva is világos legyen a tartalmuk az olvasó számára.
Benyújtás nyelve:	Magyar
Benyújtás helye:	A Moodle rendszerben kiírt feladatnál.
Késői benyújtás:	Minden megkezdett nap után 5% levonás az elért eredményből (azaz pl. 5 nap késés után 100%-os leadandóra már csak max. 100% - 5x5% = 75%-ot lehet szerezni).
Értékelés:	0 – 50% - Elégtelen (1)
	51 – 60% - Elégséges (2)
	61 – 70% - Közepes (3)
	71 – 85% - Jó (4)
	86 – 100% - Jeles (5)
A formai követelmények tekintetében az alábbi linken elérhető útmutatót/sablont kell használni.

Feladat I. része

A vezetőben kialakuló hőmérsékleteloszlás számítása végeselem-módszerrel

A kapott sorszám alapján a feladat geometriájának méreteit a következő táblázatban találja: Feladat #4 méretei.

A feladat: meghatározni a hőmérsékleteloszlást az elrendezés tetszőlegesen választott vezetőjében a veszteség 50 Hz-en és 500 Hz-en számolt értékének esetére.

Az anyagtulajdonságok.

Anyag	Réz	PVC
$$\rho~[\text{kg}/\text{m}^3]$$	8960	1380
$$c_{\text{P}}~[\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})]$$	383	1172
$$\lambda~[\text{W}/(\text{m}\cdot\text{K})]$$	401	0,2

A FEMM szoftver esetében a térfogatra vonatkoztatott hőkapacitást (Volumetric heat capacity) kell megadni. Ezt a hőkapacitás (

$$c_{\text{P}}$$ ) és a sűrűség ( $$\rho$$ ) szorzata adja:

$$c_{\text{PV}} = c_{\text{P}} \cdot \rho$$ $$\Bigg[\frac{\text{J}}{\text{m}^3\cdot\text{K}}\Bigg]$$ .

Azonban mivel időben állandó feladatról van szó, ezért nem szükséges a megadása.

A feladat gerjesztése (

$$q_V$$ ) az egységnyi térfogatra vett veszteség, amit nem más, mint az örvényáram-veszteség és a vezető térfogatának hányadosa:.

$$q_V = \frac{P_{\text{ec}}}{V_{\text{vezető}}} \Bigg[\frac{\text{W}}{\text{m}^3}\Bigg]$$ ,

ahol

$$P_{\text{ec}}$$ az örvényáram okozta veszteség a vezetőben, $$V$$ pedig az egységnyi hosszú vezető térfogata.

A feladat külső felületére a peremfeltételnek hőszállítást (konvekciót) (Neumann-peremfeltétel) írunk elő:

$$-\lambda\cdot\frac{\partial T}{\partial n} = \alpha\cdot(T_{\text{külső}} - T)$$ ,

ahol

$$\lambda~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}\cdot\text{K}}\Big]$$ a hővezetési tényező, $$T_{\text{külső}}$$ a környezeti hőmérséklet és $$\alpha~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}\Big]$$ a hőátadási tényező. Ennél a feladatnál $$T_{\text{külső}} = 22°\text{C} = 295,15~\text{K}$$ és $$\alpha = 9~\tfrac{\text{W}}{(\text{m}^2\cdot\text{K})}$$ legyen, amit használunk. A valóságban $$\alpha$$ egy hőmérsékletfüggő paraméter.

A

$$z-$$ irányú hossza a feladatnak minden esetben $$1\,\text{m}$$ legyen és a szigetelő (PVC) vastagsága $$4,2\,\text{mm}$$ .

Elvégzendő feladatok

• A megadott paraméterek alapján elkészíteni a síkbeli (planar) feladat geometriáját az Ansys Electronics Desktop Student szoftverben;
• Az anyagtulajdonságok, a gerjesztés és a peremfeltételek megadása;
• A FEM szimuláció futtatása;
• Az eredmények kiértékelése:
  • Vezető átlaghőmérséklete $$50~\text{Hz}$$ és $$500~\text{Hz}$$ esetében;
  • A vezető keresztmetszetében (pl. $$X = -20,2~\text{mm}~\dots~20,2~\text{mm}$$ ) a hőáramsűrűség kirajzoltatása.

A táblázatban található méretek jelentését az alábbi ábrák mutatják. A táblázatban a 2. oszlop jelöli a változat számát. A kapott feladat teljesen azonos a Feladat 4 esetében kapott feladattal.

Szoftverek használatának bemutatása

A Feladat 4-nél, az 1. ábrán látható elrendezésből a középső (

$$L_2$$ ) vezető szimulációján keresztül ismertetem az önálló feladat megoldásának menetét. A feladathoz készült videók segítségével elsajátítható a feladat beállítása, az anyagtulajdonságok, a peremfeltételek és a gerjesztés megadása. Majd a megoldást követően a térváltozók megjelenítése és a feladathoz kapcsolódó számítandó mennyiségek meghatározása.

Az eredmények összehasonlítása 50 Hz esetében.

Szoftver	FEMM	Agros2D	Maxwell 2D & AEDT Thermal (3D)	Maxwell 2D & Steady-State Thermal (2D)
Veszteség [ $$\text{W}$$ ]	18,68	18,72	18,88	18,88
Hőmérséklet [ $$°\text{C}$$ ]	41,82	41,86	42,03	42,09

Az eredmények összehasonlítása 500 Hz esetében.

Szoftver	FEMM	Agros2D	Maxwell 2D & AEDT Thermal (3D)	Maxwell 2D & Steady-State Thermal (2D)
Veszteség [ $$\text{W}$$ ]	50,40	50,47	51,39	51,39
Hőmérséklet [ $$°\text{C}$$ ]	75,47	75,55	76,53	76,68

FEMM - A hőmérsékleteloszlás és a hőáramsűrűség vektorok 50 Hz esetében.	Agros2D - A hőmérsékleteloszlás és a hőáramsűrűség vektorok 50 Hz esetében.
AEDT Mechanical Thermal - A hőmérsékleteloszlás és a hőáramsűrűség vektorok 50 Hz esetében.	Workbench Steady-State Thermal - A hőmérsékleteloszlás és a hőáramsűrűség vektorok 50 Hz esetében.

Ábra 1. - A hőáramsűrűség a vezeték keresztmetszetében.

Az Ábra 1-en látható görbéknél a uniform annyit jelent, hogy a vezető keresztmetszetében a veszteséget egyenletes eloszlásunak vettem. A két eset, ahol ez nem szerepel, ott pedig a tényleges veszteségeloszlással számoltam. Ez a különbség ennél a példánál nem okoz számottevő eltérést a hőmérsékleteloszlásban, azonban ez általánosságban nem igaz.

Videók a szoftverek használatához

• [ Ansys Icepak]
• [ Ansys Mechanical]

A hővezetés differenciálegyenlete^[1][2]

A hővezetés általános differenciálegyenletéhez az energimegmaradás tételét a hővezetés jelenségére alkalmazva jutunk.
Vizsgáljuk egy

$$V$$ térfogatú hővezető közeg energiaegyensúlyát. A térfogatba foglalt közeg:

$$m = \int_{V}\rho~\text{d}V$$ ,

ahol

$$\rho~\Big[\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\Big]$$ a sűrűség.
A tömeg hőmérsékletének $$\text{d}T$$ értékkel való növelése $$\text{d}\tau$$ idő alatt $$\text{d}Q$$ hőmennyiség közlése mellett történik. A hőmérséklet idő szerinti változása

$$\text{d}T = \frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}\tau$$

egy helyfüggő érték. A felmelegítéshez szükséges hőmennyiség

$$\text{d}Q = \text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V$$ ,

ahol

$$c~\Big[\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\Big]$$ az anyag helytől függő fajhője.

A közölt hőmennyiség származhat a vizsgált térrészen belül elhelyezkedő hőforrásból (

$$\text{d}Q_1$$ ), vagy érkezhet a vizsgált tartományt határoló felületen keresztül hővezetéssel ( $$\text{d}Q_2$$ ). A két hőmennyiség összege a felmelegítésre fordított hőmennyiséggel egyenlő:

$$\text{d}Q = \text{d}Q_1 + \text{d}Q_2$$ .

Hőforrásként jelentkezhet a közegben például az elektromos áram hőhatása. A hőforráseloszlás

$$\biggl(q_V~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^3}\Big]\biggr)$$ ismeretében a vizsgált $$V$$ térrészben $$\text{d}\tau$$ idő alatt keletkező hőmennyiség:

$$\text{d}Q_1 = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V$$ .

A

$$V$$ térrészt határoló $$S$$ felületen át vezetéssel a térrészbe belépő és az onnan szintén vezetéssel kilépő hőmennyiség eredője, ugyancsak $$\text{d}\tau$$ idő alatt:

$$\text{d}Q_2 = -\text{d}\tau\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S}$$ ,

ahol

$$\vec{q}~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}\Big]$$ a hőáramsűrűség vektora. Az $$S$$ felület normálisát pozitívnak tekintjük, ha a vizsgált térrészből kifelé mutat. A negatív előjel azért szükséges, mert a $$\text{d}Q_2$$ hőmennyiséget akkor tekintjük pozitívnak, ha az a vizsgált térrészben lévő tömeg hőmérsékletét növeli. Azonban a felület normálisának iránya miatt (kifelé mutat) a térrészbe belépő hőmennyiség negatív értéként adódik.

A hőmérsékletek azonosságát kifejező egyenletbe helyettesítve:

$$\text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V -\text{d}\tau\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S}$$ .

Ez az összefüggés azt mutatja, hogy az

$$S$$ felület által határolt $$V$$ térfogatban lévő közeg belső energiájának a vizsgált $$\text{d}\tau$$ idő alatt történő megváltozása az $$S$$ felületen keresztül vezetéssel belépő ls kilépő hőmennyiségek eredőjéből, valamint a $$V$$ térfogaton belül elhelyezkedő hőforrás által szolgáltatott hőmennyiségből adódik.
A Gauss-Osztrogradszkij-tétel értelmében a jobb oldal második tagja átalakítható:

$$\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S} = \int_{V} \nabla\cdot\vec{q}~\text{d}V$$ ,

amit visszahelyettesítve és átrendezve a következő egyenletre vezet:

$$\text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V -\text{d}\tau\int_{V} \nabla\cdot\vec{q}~\text{d}V \rightarrow \text{d}\tau\int_{V} \big(c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} - q_V + \nabla\cdot\vec{q}\big)~\text{d}V = 0$$ .

Figyelembe véve azt, hogy az integrál zérus értéke az integrandusz zérus voltát jelenti, tehát

$$c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} - q_V + \nabla\cdot\vec{q} = 0$$ .

Egy szilárd testben, amelyben a hő kizárólag vezetés útján terjed, a

$$\vec{q}$$ hőáramsűrűség valamely helyen a hely környezetében uralkodó hőmérsékleteloszlás alapján megállapítható. A legnagyobb hőmérsékletváltozás irányába mutató gradiens vektor és a $$\vec{q}$$ hőáramsűrűség vektor iránya megegyezik. Azonban a tapasztalat szerint a hő mindig a csökkenő hőmérséklet irányába áramlik, tehát a a hőmérsékletgradiens vektor és a $$\vec{q}$$ hőáramsűrűség vektor értelme ellentétes. A hőáramsűrűség vektor abszolút értéke az egységnyi elmozdulásra jutó hőmérsékletcsökkenéssel , azaz a gradiens vektor abszolút értékével arányos. A kettő közötti arányossági tényező az adott anyag $$\lambda~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}\cdot\text{K}}\Big]$$ hővezetési tényezője. A leírtak alapján, az úgynevezett Fourier-törvény:

$$\vec{q} = \lambda\cdot(-\nabla~T) = -\lambda\cdot \nabla~T$$ .

Ezt az összefüggést felhasználva a hővezetés általános differenciálegyenlete:

$$-\nabla(\lambda\cdot \nabla~T) + c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} = q_V$$ .

További egyszerűsítést jelent az esetünkben, hogy stacionárius hőáramlásról van szó, azaz nincs időbeli változás

$$-\nabla(\lambda\cdot \nabla~T) = q_V$$ .

A feladatmegoldás során ezt a Poisson-egyenletet oldjuk meg, ahol

$$q_V~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^3}\Big]$$ az egységnyi térfogatban keletkező veszteség.

Feladat II. része

A műszaki jelentés elkészítése és leadása a Moodle rendszerben PDF formátumban.
A műszaki jelentés a következő linken elérhető: Word; PDF.

Hivatkozások

1. Jump up ↑ Szabó I., Áramlástan, műszaki hőtan, Tankönyvkiadó, Budapest, 1973.
2. Jump up ↑ Imre L., Villamos gépek és eszözök melegedése és hűtése - 2. Bevezetés a hőátviteli folyamatok elméletébe, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1982.