Difference between revisions of "Feladat 5"

Revision as of 19:37, 24 October 2020

A feladat célja

A hallgatók elsajátítsák az elektromágneses térszámítás alapjait, főbb lépéseit, valamint gyakorlatot szerezzen az eredmények kiértékelésében a FEMM vagy az Agros2D szoftver segítségével. Ezen túl a nemzetközi elvárásoknak megfelelő Műszaki Jelentés (Technical Report) írásában is gyakorlatot szerezzen.

A feladat egy háromfázisú kábel (lásd Feladat 4) egyik vezetőjében kialakuló hőmérsékleteloszlás meghatározása a vezetékben létrejövő veszteség ismeretében.

A feladat megoldásához szükséges ismeretek

• A végeselem-módszer lépései;
• A stacionárius hőáramlásra vonatkozó elméleti ismeretek (anyagok definiálásához, gerjesztés és peremfeltétel megadásához) [Ebben segítséget nyújt a lenti el elméleti összefoglaló.];
• A FEMM vagy Agros2D szoftver alapszintű kezelése.

A feladat

A feladat két részből áll, a szimulációból és az összefoglaló elkészítéséből.

Feladat I. része

Rezisztencia és veszteség számítása végeselem-módszerrel

A kapott sorszám alapján a feladat geometriájának méreteit a következő táblázatban találja: Feladat #4 méretei.

A feladat: meghatározni a hőmérsékleteloszlást az elrendezés tetszőlegesen választott vezetőjében a veszteség 50 Hz-en és 500 Hz-en számolt értékének esetére.

A FEMM szoftver esetében a térfogatra vonatkoztatott hőkapacitást (Volumetric heat capacity) kell megadni. Ezt a hőkapacitás ([math]c_{\text{P}}[/math]) és a sűrűség ([math]\rho[/math]) szorzata adja:

[math]c_{\text{PV}} = c_{\text{P}} \cdot \rho [/math] [math]\Bigg[\frac{\text{J}}{(\text{m}^3\cdot\text{K})}\Bigg][/math].

Azonban mivel időben állandó feladatról van szó, ezért nem szükséges a megadása.

A feladat gerjesztése ([math]q_V[/math]) az egységnyi térfogatra vett veszteség, amit nem más, mint az örvényáram-veszteség és a vezető térfogatának hányadosa:.

[math]q_V = \frac{P_{\text{ec}}}{V_{\text{vezető}}} \Bigg[\frac{\text{W}}{\text{m}^3}\Bigg][/math],

ahol [math]P_{\text{ec}}[/math] az örvényáram okozta veszteség a vezetőben, [math]V[/math] pedig az egységnyi hosszú vezető térfogata.

A feladat külső felületére a peremfeltételnek hőszállítást (konvekciót) (Neumann-peremfeltétel) írunk elő:

[math]-\lambda\cdot\frac{\partial T}{\partial n} = \alpha\cdot(T_{\text{külső}} - T)[/math],

ahol [math]\lambda~\Big[\tfrac{\text{W}}{(\text{m}\cdot\text{K})}\Big][/math] a hővezetési tényező, [math]T_{\text{külső}}[/math] a környezeti hőmérséklet és [math]\alpha~\Big[\tfrac{\text{W}}{(\text{m}^2\cdot\text{K})}\Big][/math] a hőátadási tényező. Ennél a feladatnál [math]T_{\text{külső}} = 22°\text{C} = 295,15~\text{K}[/math] és [math]\alpha = 9~\tfrac{\text{W}}{(\text{m}^2\cdot\text{K})}[/math] legyen, amit használunk. A valóságban [math]\alpha[/math] egy hőmérsékletfüggő paraméter.

A [math]z-[/math]irányú hossza a feladatnak minden esetben [math]1\,\text{m}[/math] legyen és a szigetelő (PVC) vastagsága [math]4,2\,\text{mm}[/math].

Elvégzendő feladatok

• A megadott paraméterek alapján elkészíteni a síkbeli (planar) feladat geometriáját a FEMM vagy Agros2D szoftverek valamelyikében;
• Az anyagtulajdonságok, a gerjesztés és a peremfeltételek megadása;
• A FEM szimuláció futtatása;
• Az eredmények kiértékelése:
  • Vezető átlaghőmérséklete 50 és 500 Hz esetében;
  • A vezető keresztmetszetében (pl. [math]X = -20,2~\text{mm}~\dots~20,2~\text{mm}[/math]) a hőáramsűrűség kirajzoltatása.

A táblázatban található méretek jelentését az alábbi ábrák mutatják. A táblázatban a 2. oszlop jelöli a változat számát. A kapott feladat teljesen azonos a Feladat 4 esetében kapott feladattal.

Szoftverek használatának bemutatása

A Feladat 4-nél, az 1. ábrán látható elrendezésből a középső ([math]L_2[/math]) vezető szimulációján keresztül ismertetem az önálló feladat megoldásának menetét. A feladathoz készült videók segítségével elsajátítható a feladat beállítása, az anyagtulajdonságok, a peremfeltételek és a gerjesztés megadása. Majd a megoldást követően a térváltozók megjelenítése és a feladathoz kapcsolódó számítandó mennyiségek meghatározása.

Videók a szoftverek használatához

• [ FEMM]
• [ Agros2D]

A hővezetés differenciálegyenlete^[1][2]

A hővezetés általános differenciálegyenletéhez az energimegmaradás tételét a hővezetés jelenségére alkalmazva jutunk.
Vizsgáljuk egy [math]V[/math] térfogatú hővezető közeg energiaegyensúlyát. A térfogatba foglalt közeg:

[math]m = \int_{V}\rho~\text{d}V[/math],

ahol [math]\rho~\Big[\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\Big][/math] a sűrűség.
A tömeg hőmérsékletének [math]\text{d}T[/math] értékkel való növelése [math]\text{d}\tau[/math] idő alatt [math]\text{d}Q[/math] hőmennyiség közlése mellett történik. A hőmérséklet idő szerinti változása

[math]\text{d}T = \frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}\tau[/math]

egy helyfüggő érték. A felmelegítéshez szükséges hőmennyiség

[math]\text{d}Q = \text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V[/math],

ahol [math]c~\Big[\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\Big][/math] az anyag helytől függő fajhője.

A közölt hőmennyiség származhat a vizsgált térrészen belül elhelyezkedő hőforrásból ([math]\text{d}Q_1[/math]), vagy érkezhet a vizsgált tartományt határoló felületen keresztül hővezetéssel ([math]\text{d}Q_2[/math]). A két hőmennyiség összege a felmelegítésre fordított hőmennyiséggel egyenlő:

[math]\text{d}Q = \text{d}Q_1 + \text{d}Q_2[/math].

Hőforrásként jelentkezhet a közegben például az elektromos áram hőhatása. A hőforráseloszlás ([math]q_V~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^3}\Big][/math]) ismeretében a vizsgált [math]V[/math] térrészben [math]\text{d}\tau[/math] idő alatt keletkező hőmennyiség:

[math]\text{d}Q_1 = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V[/math].

A [math]V[/math] térrészt határoló [math]S[/math] felületen át vezetéssel a térrészbe belépő és az onnan szintén vezetéssel kilépő hőmennyiség eredője, ugyancsak [math]\text{d}\tau[/math] idő alatt:

[math]\text{d}Q_2 = -\text{d}\tau\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S}[/math],

ahol [math]\vec{q}~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}\Big][/math] a hőáramsűrűség vektora. Az [math]S[/math] felület normálisát pozitívnak tekintjük, ha a vizsgált térrészből kifelé mutat. A negatív előjel azért szükséges, mert a [math]\text{d}Q_2[/math] hőmennyiséget akkor tekintjük pozitívnak, ha az a vizsgált térrészben lévő tömeg hőmérsékletét növeli. Azonban a felület normálisának iránya miatt (kifelé mutat) a térrészbe belépő hőmennyiség negatív értéként adódik.

A hőmérsékletek azonosságát kifejező egyenletbe helyettesítve:

[math]\text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V -\text{d}\tau\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S}[/math].

Ez az összefüggés azt mutatja, hogy az [math]S[/math] felület által határolt [math]V[/math] térfogatban lévő közeg belső energiájának a vizsgált [math]\text{d}\tau[/math] idő alatt történő megváltozása az [math]S[/math] felületen keresztül vezetéssel belépő ls kilépő hőmennyiségek eredőjéből, valamint a [math]V[/math] térfogaton belül elhelyezkedő hőforrás által szolgáltatott hőmennyiségből adódik.
A Gauss-Osztrogradszkij tétel értelmében a jobb oldal második tagja átalakítható:

[math]\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S} = \int_{V} \nabla\cdot\vec{q}~\text{d}V[/math],

amit visszahelyettesítve és átrendezve a következő egyenletre vezet:

[math]\text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V -\text{d}\tau\int_{V} \nabla\cdot\vec{q}~\text{d}V \rightarrow \text{d}\tau\int_{V} \big(c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} - q_V + \nabla\cdot\vec{q}\big)~\text{d}V = 0[/math]

Figyelembe véve azt, hogy az integrál zérus értéke az integrandusz zérus voltát jelenti, tehát

[math]c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} - q_V + \nabla\cdot\vec{q} = 0[/math].

Egy szilárd testben, amelyben a hő kizárólag vezetés útján terjed, a [math]\vec{q}[/math] hőáramsűrűség valamely helyen a hely környezetében uralkodó hőmérsékleteloszlás alapján megállapítható. A legnagyobb hőmérsékletváltozás irányába mutató gradiens vektor és a [math]\vec{q}[/math] hőáramsűrűség vektor iránya megegyezik. Azonban a tapasztalat szerint a hő mindig a csökkenő hőmérséklet irányába áramlik, tehát a a hőmérsékletgradiens vektor és a [math]\vec{q}[/math] hőáramsűrűség vektor értelme ellentétes. A hőáramsűrűség vektor abszolút értéke az egységnyi elmozdulásra jutó hőmérsékletcsökkenéssel , azaz a gradiens vektor abszolút értékével arányos. A kettő közötti arányossági tényező az adott anyag [math]\lambda~[\tfarc{\text{W}}{\text{m}\cdot\text{K}}][/math] hővezetési tényezője. A leírtak alapján, az úgynevezett Fourier-törvény:

[math]\vec{q} = \lambda\cdot(-\nabla~T) = -\lambda\cdot \nabla~T[/math].

Ezt az összefüggést felhasználva a hővezetés általános differenciálegyenlete:

[math]-\nabla(\lambda\cdot \nabla~T) + c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} = q_V[/math].

További egyszerűsítést jelent az esetünkben, hogy stacionárius hőáramlásról van szó, azaz nincs időbeli változás

[math]-\nabla(\lambda\cdot \nabla~T) = q_V[/math].

A feladatmegoldás során ezt a Poisson-egyenletet oldjuk meg, ahol [math]q_V~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^3}\Big][/math] az adott térfogatban keletkező veszteség.

Feladat II. része

A műszaki jelentés elkészítése és leadása a Moodle rendszerben PDF formátumban.
A műszaki jelentés a következő linken elérhető: Word; PDF.

Hivatkozások

1. ↑ Szabó I., Áramlástan, műszaki hőtan, Tankönyvkiadó, Budapest, 1973.
2. ↑ Imre L., Villamos gépek és eszözök melegedése és hűtése - 2. Bevezetés a hőátviteli folyamatok elméletébe, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1982.