4. lecke

Integrálegyenleteken alapuló módszerek / Hullámegyenlet
Oktató Marcsa Dániel (óraadó) Előadás: - Fogadóóra: egyeztetés alapján	További oktatók: - Fogadóóra: -.

Integrálegyenleten alapuló módszerek

Peremelem módszer (Boundary Element Method - BEM)

Peremelem módszeren (BEM - Boundary Element Method) alapuló megoldók többsége a momentumok módszerét (MoM - Method of Moments) használja, hogy megoldja az EFIE (Electric Field Integral Equation), az MFIE (Magnetic Field Integral Equation) vagy a CFIE (Combined Field Integral Equation) egyenletrendszert, az elektromos és/vagy mágneses áramokat meghatározzásához az egymástól eltérő anyagok közötti határfelületen. Emiatt sok esetben az EM szimulációs programot csak "momentumok módszerén" alapuló szoftverként jellemzik, holott a peremelem módszert használja.

1. ábra - Az egyenértékűség elve.

A peremelem módszer első lépése a probléma geometriájának leírása az azzal egyenértékű felületi áramok eloszlásaként homogén közegben (általában szabad térben). Amint az 1. ábrán látható, az objektum körüli tér az objektumra beeső térből, az objektumról visszavert térből és az objektumból származó térből áll össze. Az egyenértékűségi tétel azt állítja, hogy az objektumon kívüli téreloszlás pontosan leírható, ha eltávolítja az objektumot, és azzal egyenértékű elektromos és mágneses áramokkal helyettesítjük a határfelületen.

Mivel a peremelem módszernél is használt EFIE és MFIE sémák az árameloszlás esetében csak a homogén közegben érvényesek, a feladatban lévő összes objektumot el kell távolítani, és a határaiknak megfelelő (kezdetben ismeretlen) felületi áramokkal kell helyettesíteni.

Az alábbi egyenletek az EFIE és MFIE általános alakját mutatják, ahogy a peremelem módszert használó programok jellemzően alkalmazzák, amelyek csak fémes tárgyakat modelleznek (azaz nincs ekvivalens mágneses felületi áram);

[math]\vec{E}(\vec{r})=\frac{-j\eta}{4\pi k}\int_S\vec{J}_S(\vec{r}')\cdot\vec{G}_e(\vec{r},\vec{r}')\text{d}S'[/math]

[math]\vec{H}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi}\int_S\vec{J}_S(\vec{r}')\times\nabla'\vec{G}_m(\vec{r},\vec{r}')\text{d}S'[/math]

Ezekben az egyenletekben a [math]\int_S \text{d}S'[/math] felületre vett integrál az összes határfelületre vett integrálást jelenti. Azt érdemes figyelembe venni, hogy perem csak olyan helyeken létezik, ahol két különbőző anyag között határfelület van, tehát a perem mérete korlátozott (azaz nincs integrálás a végtelenbe).

A fenti egyenletekben a [math]\vec{G}_e[/math] és a [math]\vec{G}_m[/math] tagok az elektromos és mágneses teret létrehozó áramokkal kapcsolatos függvények. A [math]\vec{G}_e[/math]-t és [math]\vec{G}_m[/math]-et Green-függvényeknek hívják, és központi szerepet játszanak a peremelem módszerben. A szabadtéri Green-függvény segítségével kifejezhetjük egy külön bázisfüggvénnyel leírt felületi áramok által létrehozott teret (pl.:egy felületdarab árama). Azonban, más Green-függvények is alkalmazhatók egy adott geometriára jellemző, összetettebb szerkezetből származó tér kifejezésére. Például egy vékony dielektrikummal bevont fémfelületekből álló geometriánál alkalmazható egy speciális Green-függvény, amely kifejezi az összevont fém-dielektrikum és dielektrikum-levegő határfelületekből származó teret. Ez jelentősen csökkentheti a probléma modellezéséhez szükséges felületi elemek számát.

Az összes Green-függvény közelíti a megoldást, aminek használhatóságának és pontosságának korlátot szab a frekvencia, a távolság és a geometria. A legtöbb peremelem módszer különböző Green-függvényeket alkalmaz, hogy modellezzék a feladat egyes részeit vagy az eltérő feladatokat.

Az általános célú 3D BEM kódok általában olyan bázis- és súlyfüggvényeket alkalmaznak, amelyek lineáris árameloszlást eredményeznek a háromszög vagy négyszögletes felületdarabokon. Általában két ismeretlen, két ortogonális (egymásra merőleges) áramvektor van felületdarabonként. A vékony vezetékeket hatékonyan leírhatóak egy ismeretlenes elemekkel, ahol az ismeretlen az árameloszlás amplitúdója vezetékdarabonként.

A pont-illesztési eljárásnál a bázis- és súlyfüggvényt Dirac-deltának választjuk, melyek jellemzően a felületelem középpontjában helyezkedik el. Az ugrásfüggvény-illesztési módszernél a bázis- és súlyfüggvényt állandó értéknek vesszük az egész felületelemen. A pontosabb megvalósításnál olyan bázis- és súlyfüggvényt alkalmaznak, amelynél folytonos az átmenet két szomszédos felületelem között. A Rao-Wilton-Glisson (RWG) bázisfüggvény a legelterjedtebben alkalmazott háromszög alakú felületelemeket alkalmazó programoknál. A téglalap alakú elemeket alkalmazó szoftverek jellemzően "háztető" (roof-top) bázisfüggvényt használnak.

Generally, CEM software employing a boundary element method excels at modeling unbounded problems, particularly when it is not necessary to model regions of great complexity in detail. Structures that can be adequately represented with a wire grid can be analyzed very effectively using boundary element methods, because these methods model wires very efficiently.

Following table lists various strengths and weakness of BEM modeling techniques. Note that the capabilities of any particular modeling software depend strongly on the form of the integral equation solved, the choice of basis and weighting functions, the Green's function(s) employed, and the matrix solver and any optimization techniques employed.

Strengths	Weaknesses
Excellent for modeling unbounded (radiation) problems. Excellent for modeling metal plates and thin wires. Good for modeling structures with lumped circuit elements included.	Does not model inhomogeneous or complex materials well. Not good for modeling problems that combine small detailed geometries with larger objects. CFIE formulation required to model enclosed structures of resonant size.

Momentumok módszere (Method of Moments - MoM)

In the 1960s, R.F. Harrington and others applied a technique called the Method of Moments to the solution of electromagnetic field problems. The Method of Moments (also called the Method of Weighted Residuals) is a technique for solving linear equations of the form,

[math]\mathcal{L}(\phi)=f[/math]

where the functional [math]\mathcal{L}(\bullet)[/math] is a linear operator, [math]f[/math] is a known excitation or forcing function, and [math]\phi[/math] is an unknown quantity. To solve this problem on a digital computer, we start by expressing the unknown solution as a series of basis or expansion functions, [math]v_n[/math],

[math]\phi = \sum_{n=1}^{N}a_n v_n[/math]

where [math]a_n[/math] are unknown coefficients describing the amplitude of each term in the series.

Now instead of one equation with a continuous unknown quantity, [math]f[/math], we have an equation with [math]N[/math] scalar unknowns,

[math]\mathcal{L}(a_1v_1+a_2v_2+\dots+a_Nv_N)=f[/math].

To solve for the values of [math]a_n[/math], we need [math]N[/math] linearly independent equations; so [math]a_n[/math] different weighting or testing functions, [math]w_n[/math], are applied. This yields the following system of [math]N[/math] equations in [math]N[/math] unknowns:

[math] \begin{bmatrix} \langle w_1,\mathcal{L}(v_1)\rangle & \langle w_1,\mathcal{L}(v_2)\rangle & \cdots & \langle w_1,\mathcal{L}(v_N)\rangle \\ \langle w_2,\mathcal{L}(v_1)\rangle & \langle w_2,\mathcal{L}(v_2)\rangle & \cdots & \langle w_2,\mathcal{L}(v_N)\rangle \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle w_N,\mathcal{L}(v_1)\rangle & \langle w_N,\mathcal{L}(v_2)\rangle & \cdots & \langle w_N,\mathcal{L}(v_N)\rangle \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \langle w_1, f_1 \rangle \\ \langle w_2, f_2 \rangle \\ \vdots \\ \langle w_N, f_N \rangle \end{bmatrix} [/math]

A fenti összefüggés lineáris egyenletrendszerként a következő lesz

[math]\textbf{A}\textbf{x}=\textbf{b}[/math]

where the elements of [math]\textbf{A}[/math] are known quantities that can be calculated from the linear operator, the functional [math]\mathcal{L}(\bullet)[/math], and the chosen basis and weighting functions. The elements of \textbf{b} are determined by applying the weighting functions to the known forcing function. The unknown elements of [math]\textbf{x}[/math] can be found by solving the matrix equation. After solving for [math]\textbf{x}[/math] (i.e. the unknown coefficients, [math]a_n[/math]), the value of [math]\phi[/math] is determined using [math]\phi = \sum_{n=1}^{N}a_n v_n[/math] equation.

The Method of Moments (MoM) can be used to solve a wide range of equations involving linear operations including integral and differential equations. This numerical technique has many applications other than electromagnetic modeling; however the MoM is widely used to solve equations derived from Maxwell's equations. In general, moment method codes generate and solve large, dense matrix equations and most of the computational resources required are devoted to filling and solving this matrix equation. The particular form of the equations that is solved and the choice of basis and weighting functions have a great impact on the size of this matrix and ultimately the suitability of a given moment method code to model a given geometry.

Equation Options

The most common equation form solved by CEM modeling codes based on the Method of Moments is the Electric Field Integral Equation (EFIE). This is an equation of the form,

[math]\vec{E}=f_e(\vec{J},\vec{M})[/math],

where [math]\vec{E}[/math] is the impressed (i.e. source) electric field and [math]\vec{J}[/math] and [math]\vec{M}[/math] are the induced electric and magnetic current densities, respectively. The EFIE will be discussed further in the section describing the Boundary Element Method. Generally, codes that solve a form of the EFIE excel at modeling open (unbounded) geometries in which the electric field dominates in the near-field region of the source.

Another equation solved by Moment Method codes is the Magnetic Field Integral Equation (MFIE), which has the general form,

[math]\vec{H}=f_m(\vec{J},\vec{M})[/math],

where [math]\vec{H}[/math] is the impressed (i.e. source) magnetic field intensity. Codes that solve a form of the MFIE are best suited for modeling geometries with circulating currents, where the magnetic near field is dominant.

Moment Method codes based on the EFIE or MFIE alone, may exhibit unstable behavior when the modeling surfaces form a resonant cavity at a particular frequency. To avoid this, many moment method codes solve a linear combination of the EFIE and MFIE known as a Combined Field Integral Equation (CFIE). This requires more calculations to fill the matrix, but results in a more stable solution when the modeling surface is large enough to support an interior resonance.

Some CEM modeling codes employ the Method of Moments to solve other equations. For example, static modeling codes often solve a form of Laplace's equation relating electric field strengths to charge densities or magnetic field strengths to current densities. The Generalized Multiple Technique (GMT), which is described in another section of this report, employs a moment method to solve equations for the electric field generated by multipole sources.

Bázis- és súlyfüggvény

A bázis- és a súlyfüggvény megfelelő választása óriási különbséget eredményezhet az elfogadható pontosságú megoldáshoz szükséges [math]N[/math] elemek számában. Mivel a megoldást a bázisfüggvények összegzésével kapjuk, fontos olyan bázisfüggvényt választani, amelyek kis szám esetében is pontosan leírja a megoldást. Például, amikor a felületi árameloszlást számoljuk, a bázisfüggvényeknek olyan árameloszlást leíró elemeknek kell lenniük, amelyeket összegezve megfelelően közelíteni a feladatban fellépő lehetséges árameloszlásokat.

Súlyfüggvénynek olyan kell választani, ami maximalizálja az egyenlet különböző súlyozott formáinak lineáris függetlenségét. Gyakran a legjobb, ha a bázisfüggvénnyel azonos súlyfüggvényt választunk. A momentumok módszer technikáinál is, ha a bázisfüggvény és a súlyfüggvény azonosak azt Galjorkin-módszernek nevezzük.

Hullámegyenlet

Itt a közvetlenül elektromos és mágneses térből előálló frekvenciatratománybeli egyenletekkel foglalkozunk. Ezeket szintén a Maxwell-egyenletekből kapjuk, amelyek mind az elektromos, mind a mágneses teret tartalmazza, amíg a hullámegyenlet mindig csak az egyik mennyiséget tartalmazza.

Hullámegyenlet

Az [math]\vec{E}[/math] elektromos térerősségre a hullámegyenletet kapjuk, ha kiküszöböljük a [math]\vec{H}[/math] mágneses térerősséget a I. és II. Maxwell-egyenletből a konstitúciós relációk segítségével. Ezt megtéve az elektromos térerősségre a hullámegyenlet

[math]\nabla\times\left(\frac{1}{\mu}\nabla\times\vec{E}\right)-\omega^{2}\varepsilon\vec{E}=-j\omega\vec{J}[/math].

Hasonlóképpen, az [math]\vec{E}[/math] elektromos térerősség kiküszöbölésével a mágneses térerősségre a hullámegyenlet

[math]\nabla\times\left(\frac{1}{\varepsilon}\nabla\times\vec{H}\right)-\omega^{2}\mu\vec{H}=\nabla\times\left(\frac{1}{\varepsilon}\vec{J}\right)[/math].

Ezeket az egyenleteket inhomogén hullámegyenletnek nevezzük. Az [math]\vec{E}[/math]-re kifejezett hullámegyenlet megoldása kielégíti a Gauss-törvényt és ugyanígy a [math]\vec{H}[/math]-ra kifejezett hullámegyenlet megoldása kielégíti a fluxusmegmaradás törvényét.