Feladat 5

Feladat #5 - Stacionárius hőáramlás
Oktató Marcsa Dániel (óraadó) Előadás: - Fogadóóra: egyeztetés alapján	További oktatók: - Fogadóóra: -.

A feladat célja

A hallgatók elsajátítsák az elektromágneses térszámítás alapjait, főbb lépéseit, valamint gyakorlatot szerezzen az eredmények kiértékelésében a FEMM vagy az Agros2D szoftver segítségével. Ezen túl a nemzetközi elvárásoknak megfelelő Műszaki Jelentés (Technical Report) írásában is gyakorlatot szerezzen.

A feladat egy háromfázisú kábel (lásd Feladat 4) egyik vezetőjében kialakuló hőmérsékleteloszlás meghatározása a vezetékben létrejövő veszteség ismeretében.

A feladat megoldásához szükséges ismeretek

• A végeselem-módszer lépései;
• A stacionárius hőáramlásra vonatkozó elméleti ismeretek (anyagok definiálásához, gerjesztés és peremfeltétel megadásához);
• A FEMM vagy Agros2D szoftver alapszintű kezelése.

A feladat

A feladat két részből áll, a szimulációból és az összefoglaló elkészítéséből.

Leadási határidő:	nappali - 2020. december 5. 23:59 / távoktatás - 2020. december 5. 23:59
Leadás formája:	A szimulációs fájlt (FEMM - *.feh; Agros2D - *.a2d) tömörítve (.zip formátumban). Az összefoglalót PDF formátumban. A színes ábrákat úgy kell elkészíteni, hogy fekete-fehérben kinyomtatva is világos legyen a tartalmuk az olvasó számára.
Benyújtás nyelve:	Magyar
Benyújtás helye:	A Moodle rendszerben kiírt feladatnál.
Késői benyújtás:	Minden megkezdett nap után 5% levonás az elért eredményből (azaz pl. 5 nap késés után 100%-os leadandóra már csak max. 100% - 5x5% = 75%-ot lehet szerezni).
Értékelés:	0 – 50% - Elégtelen (1)
	51 – 60% - Elégséges (2)
	61 – 70% - Közepes (3)
	71 – 85% - Jó (4)
	86 – 100% - Jeles (5)
A formai követelmények tekintetében az alábbi linken elérhető útmutatót/sablont kell használni.

Feladat I. része

Rezisztencia és veszteség számítása végeselem-módszerrel

A kapott sorszám alapján a feladat geometriájának méreteit a következő táblázatban találja: Feladat #4 méretei.

A feladat: meghatározni a hőmérsékleteloszlást az elrendezés tetszőlegesen választott vezetőjében a veszteség 50 Hz-en és 500 Hz-en számolt értékének esetére.

Az anyagtulajdonságok.

Anyag	Réz	PVC
[math]\rho~[\text{kg}/\text{m}^3][/math]	8960	1380
[math]c_{\text{P}}~[\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})][/math]	383	1172
[math]\lambda~[\text{W}/(\text{m}\cdot\text{K})][/math]	401	0,2

A FEMM szoftver esetében a térfogatra vonatkoztatott hőkapacitást (Volumetric heat capacity) meg kell adni. Ezt a hőkapacitás ([math]c_{\text{P}}[/math]) és a lehet számolni:

[math]c_{\text{PV}} = c_{\text{P}} [/math],

aminek frekvenciatartományban, egy periódusra vett átlaga:

[math]P_{\text{ec}} = \frac{1}{2}\int_{\Omega}\text{Re}\Big\{\sigma\vec{E}\cdot\vec{E}^{*}\Big\}\text{d}\Omega[/math].

A vezető rezisztenciája meghatározható az így kapott örvényáram-veszteséget behelyettesítve az ellenállás képletbe:

[math]R = \frac{2\cdot P_{\text{ec}}}{I^2}[/math],

ahol [math]P_{\text{ec}}[/math] az örvényáram okozta veszteség, [math]I[/math] az áramerősség, [math]R[/math] a rezisztencia.

A [math]z-[/math]irányú hossza a feladatnak minden esetben [math]1\,\text{m}[/math] legyen és a szigetelő (PVC) vastagsága [math]4,2\,\text{mm}[/math]. A fázisok áramai között a fáziseltérés 120 fok.

Elvégzendő feladatok

• A megadott paraméterek alapján elkészíteni a síkbeli (planar) feladat geometriáját a FEMM vagy Agros2D szoftverek valamelyikében;
• Az anyagtulajdonságok, a gerjesztés és a peremfeltételek megadása;
• A FEM szimuláció futtatása;
• Az eredmények kiértékelése, ha a [math]z-[/math]irányú hossz egységnyi ([math]1\,\text{m}[/math]).

Szabadon eldönthető a fázisok gerjesztése!

A táblázatban található méretek jelentését az alábbi ábrák mutatják. A táblázatban a 2. oszlop jelöli a változat számát.

Feladat #4 - 1. változat.	Feladat #4 - 2. változat.
Feladat #4 - 3. változat.	Feladat #4 - keresztmetszet.

Szoftverek használatának bemutatása

Az 1. ábrán látható feladat megoldásán keresztül röviden bemutatom az előadáson és az önálló feladat során használandó szoftvereket. A feladathoz készült videók segítségével elsajátítható a feladat beállítása, az anyagtulajdonságok, a peremfeltételek és a gerjesztés megadása. Majd a megoldást követően a térváltozók megjelenítése és a feladathoz kapcsolódó számítandó mennyiségek meghatározása. A feladatban az áramerősség [math]400~\text{A}[/math].

A mintdapéldához nincs a levegő berajzolva. Ennek méretei a videókban megtalálhatóak, de akár gyakorlásképpen ellenőrizhető, hogyan befolyásolja a kapacitás értékét (az eredményt) a lezárás mérete. A fázisok elnevezése balról jobbra haladva [math]L_1[/math] (bal oldali), [math]L_2[/math] (középső), [math]L_3[/math] (jobb oldali).

Ábra 1. - A mintapélda és geometriai méretei (A méretek mm-ben értendőek.).

Az eredmények összehasonlítása 1 kHz esetében.

Szoftver		FEMM	Agros2D	Maxwell 2D
Veszteség [[math]\text{W}[/math]]	L1	7,76	7,77	7,93
	L2	9,84	9,89	10,41
	L3	7,81	7,83	8,01
Rezisztencia [[math]\mu\Omega[/math]]	L1	97,0	97,125	98,08
	L2	123,0	123,625	125,26
	L3	97,625	97,875	98,08

Videók a szoftverek használatához

• [ FEMM]
• [ Agros2D]
• [ Ansys Maxwell 2D]

A hővezetés differenciálegyenlete

A hővezetés általános differenciálegyenletéhez az energimegmaradás tételét a hővezetés jelenségére alkalmazva jutunk.
Vizsgáljuk egy [math]V[/math] térfogatú hővezető közeg energiaegyensúlyát. A térfogatba foglalt közeg:

[math]m = \int_{V}\rho~\text{d}V[/math],

ahol [math]\rho[/math] a sűrűség [[math]\text{kg}/\text{m}^3[/math]].
A tömeg hőmérsékletének [math]\text{d}T[/math] értékkel való növelése [math]\text{d}\tau[/math] idő alatt [math]\text{d}Q[/math] hőmennyiség közlése mellett történik. A hőmérséklet idő szerinti változása

[math]\text{d}T = \frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}\tau[/math]

egy helyfüggő érték. A felmelegítéshez szükséges hőmennyiség

[math]\text{d}Q = \text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V[/math],

ahol [math]c[/math] [[math]\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})[/math]] az anyag helytől függő fajhője.

A közölt hőmennyiség származhat a vizsgált térrészen belül elhelyezkedő hőforrásból ([math]\text{d}Q_1[/math]), vagy érkezhet a vizsgált tartományt határoló felületen keresztül hővezetéssel ([math]\text{d}Q_2[/math]). A két hőmennyiség összege a felmelegítésre fordított hőmennyiséggel egyenlő:

[math]\text{d}Q = \text{d}Q_1 + \text{d}Q_2[/math].

Hőforrásként jelentkezhet a közegben például az elektromos áram hőhatása. A hőforráseloszlás ([math]q_V[/math]) ismeretében a vizsgált [math]V[/math] térrészben [math]\text{d}\tau[/math] idő alatt keletkező hőmennyiség:

[math]\text{d}Q_1 = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V[/math].

A [math]V[/math] térrészt határoló [math]S[/math] felületen át vezetéssel a térrészbe belépő és az onnan szintén vezetéssel kilépő hőmennyiség eredője, ugyancsak [math]\text{d}\tau[/math] idő alatt:

[math]\text{d}Q_2 = -\text{d}\tau\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S}[/math],

ahol [math]\vec{q}[/math] a hőáramsűrűség vektora. Az [math]S[/math] felület normálisát pozitívnak tekintjük, ha a vizsgált térrészből kifelé mutat. A negatív előjel azért szükséges, mert a [math]\text{d}Q_2[/math] hőmennyiséget akkor tekintjük pozitívnak, ha az a vizsgált térrészben lévő tömeg hőmérsékletét növeli. Azonban a felület normálisának iránya miatt (kifelé mutat) a térrészbe belépő hőmennyiség negatív értéként adódik.

A hőmérsékletek azonosságát kifejező egyenletbe helyettesítve:

[math]\text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V -\text{d}\tau\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S}[/math].

Ez az összefüggés azt mutatja, hogy az [math]S[/math] felület által határolt [math]V[/math] térfogatban lévő közeg belső energiájának a vizsgált [math]\text{d}\tau[/math] idő alatt történő megváltozása az [math]S[/math] felületen keresztül vezetéssel belépő ls kilépő hőmennyiségek eredőjéből, valamint a [math]V[/math] térfogaton belül elhelyezkedő hőforrás által szolgáltatott hőmennyiségből adódik.
A Gauss-Osztrogradszkij tétel értelmében a jobb oldal második tagja átalakítható:

[math]\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S} = \int_{V} \nabla\cdot\vec{q}~\text{d}V[/math],

amit visszahelyettesítve és átrendezve a következő egyenletre vezet:

[math]\text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V -\text{d}\tau\int_{V} \nabla\cdot\vec{q}~\text{d}V \rightarrow \text{d}\tau\int_{V} \big(c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} - q_V + \nabla\cdot\vec{q}\big)~\text{d}V = 0[/math]

Figyelembe véve azt, hogy az integrál zérus értéke az integrandusz zérus voltát jelenti, tehát

[math]c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} - q_V + \nabla\cdot\vec{q} = 0[/math].

Egy szilárd testben, amelyben a hő kizárólag vezetés útján terjed, a [math]\vec{q}[/math] hőáramsűrűség valamely helyen a hely környezetében uralkodó hőmérsékleteloszlás alapján megállapítható. A legnagyobb hőmérsékletváltozás irányába mutató gradiens vektor és a [math]\vec{q}[/math] hőáramsűrűség vektor iránya megegyezik. Azonban a tapasztalat szerint a hő mindig a csökkenő hőmérséklet irányába áramlik, tehát a a hőmérsékletgradiens vektor és a [math]\vec{q}[/math] hőáramsűrűség vektor értelme ellentétes. A hőáramsűrűség vektor abszolút értéke az egységnyi elmozdulásra jutó hőmérsékletcsökkenéssel , azaz a gradiens vektor abszolút értékével arányos. A kettő közötti arányossági tényező az adott anyag [math]\lambda[/math] [[math]\text{W}/(\text{m}\cdot\text{K})[/math]] hővezetési tényezője. A leírtak alapján, az úgynevezett Fourier-törvény:

[math]\vec{q} = \lambda\cdot(-\nabla~T) = -\lambda\cdot \nabla~T[/math].

Ezt az összefüggést felhasználva a hővezetés általános differenciálegyenlete:

[math]-\nabla(\lambda\cdot \nabla~T) + c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} = q_V[/math].

További egyszerűsítést jelent az esetünkben, hogy stacionárius hőáramlásról van szó, azaz nincs időbeli változás

[math]-\nabla(\lambda\cdot \nabla~T) = q_V[/math].

A feladatmegoldás során ezt a Poisson-egyenletet oldjuk meg, ahol [math]q_V[/math] [[math]\text{W}/\text{m}^3[/math]] az adott térfogatban keletkező veszteség.

Feladat II. része

A műszaki jelentés elkészítése és leadása a Moodle rendszerben PDF formátumban.
A műszaki jelentés a következő linken elérhető: Word; PDF.