Feladat 5
|
Feladat #5 - Stacionárius hőáramlás | ||
|
Oktató
|
További oktatók:
| |
A feladat célja
A hallgatók elsajátítsák az elektromágneses térszámítás alapjait, főbb lépéseit, valamint gyakorlatot szerezzen az eredmények kiértékelésében a FEMM vagy az Agros2D szoftver segítségével. Ezen túl a nemzetközi elvárásoknak megfelelő Műszaki Jelentés (Technical Report) írásában is gyakorlatot szerezzen.
A feladat egy háromfázisú kábel (lásd Feladat 4) egyik vezetőjében kialakuló hőmérsékleteloszlás meghatározása a vezetékben létrejövő veszteség ismeretében.
A feladat megoldásához szükséges ismeretek
- A végeselem-módszer lépései;
- A stacionárius hőáramlásra vonatkozó elméleti ismeretek (anyagok definiálásához, gerjesztés és peremfeltétel megadásához) [Ebben segítséget nyújt a lenti el elméleti összefoglaló.];
- A FEMM vagy Agros2D szoftver alapszintű kezelése.
A feladat
A feladat két részből áll, a szimulációból és az összefoglaló elkészítéséből.
| Leadási határidő: | nappali - 2020. december 5. 23:59 / távoktatás - 2020. december 5. 23:59 |
| Leadás formája: | A szimulációs fájlt (FEMM - *.feh; Agros2D - *.a2d) tömörítve (.zip formátumban). Az összefoglalót PDF formátumban. A színes ábrákat úgy kell elkészíteni, hogy fekete-fehérben kinyomtatva is világos legyen a tartalmuk az olvasó számára. |
| Benyújtás nyelve: | Magyar |
| Benyújtás helye: | A Moodle rendszerben kiírt feladatnál. |
| Késői benyújtás: | Minden megkezdett nap után 5% levonás az elért eredményből (azaz pl. 5 nap késés után 100%-os leadandóra már csak max. 100% - 5x5% = 75%-ot lehet szerezni). |
| Értékelés: | 0 – 50% - Elégtelen (1) |
| 51 – 60% - Elégséges (2) | |
| 61 – 70% - Közepes (3) | |
| 71 – 85% - Jó (4) | |
| 86 – 100% - Jeles (5) | |
| A formai követelmények tekintetében az alábbi linken elérhető útmutatót/sablont kell használni. | |
Feladat I. része
A vezetőben kialakuló hőmérsékleteloszlás számítása végeselem-módszerrel
A kapott sorszám alapján a feladat geometriájának méreteit a következő táblázatban találja: Feladat #4 méretei.
A feladat: meghatározni a hőmérsékleteloszlást az elrendezés tetszőlegesen választott vezetőjében a veszteség 50 Hz-en és 500 Hz-en számolt értékének esetére.
| Anyag | Réz | PVC |
|---|---|---|
| [math]\rho~[\text{kg}/\text{m}^3][/math] | 8960 | 1380 |
| [math]c_{\text{P}}~[\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})][/math] | 383 | 1172 |
| [math]\lambda~[\text{W}/(\text{m}\cdot\text{K})][/math] | 401 | 0,2 |
A FEMM szoftver esetében a térfogatra vonatkoztatott hőkapacitást (Volumetric heat capacity) kell megadni. Ezt a hőkapacitás ([math]c_{\text{P}}[/math]) és a sűrűség ([math]\rho[/math]) szorzata adja:
[math]c_{\text{PV}} = c_{\text{P}} \cdot \rho [/math] [math]\Bigg[\frac{\text{J}}{\text{m}^3\cdot\text{K}}\Bigg][/math].
Azonban mivel időben állandó feladatról van szó, ezért nem szükséges a megadása.
A feladat gerjesztése ([math]q_V[/math]) az egységnyi térfogatra vett veszteség, amit nem más, mint az örvényáram-veszteség és a vezető térfogatának hányadosa:.
[math]q_V = \frac{P_{\text{ec}}}{V_{\text{vezető}}} \Bigg[\frac{\text{W}}{\text{m}^3}\Bigg][/math],
ahol [math]P_{\text{ec}}[/math] az örvényáram okozta veszteség a vezetőben, [math]V[/math] pedig az egységnyi hosszú vezető térfogata.
A feladat külső felületére a peremfeltételnek hőszállítást (konvekciót) (Neumann-peremfeltétel) írunk elő:
[math]-\lambda\cdot\frac{\partial T}{\partial n} = \alpha\cdot(T_{\text{külső}} - T)[/math],
ahol [math]\lambda~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}\cdot\text{K}}\Big][/math] a hővezetési tényező, [math]T_{\text{külső}}[/math] a környezeti hőmérséklet és [math]\alpha~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2\cdot\text{K}}\Big][/math] a hőátadási tényező. Ennél a feladatnál [math]T_{\text{külső}} = 22°\text{C} = 295,15~\text{K}[/math] és [math]\alpha = 9~\tfrac{\text{W}}{(\text{m}^2\cdot\text{K})}[/math] legyen, amit használunk. A valóságban [math]\alpha[/math] egy hőmérsékletfüggő paraméter.
A [math]z-[/math]irányú hossza a feladatnak minden esetben [math]1\,\text{m}[/math] legyen és a szigetelő (PVC) vastagsága [math]4,2\,\text{mm}[/math].
Elvégzendő feladatok
- A megadott paraméterek alapján elkészíteni a síkbeli (planar) feladat geometriáját a FEMM vagy Agros2D szoftverek valamelyikében;
- Az anyagtulajdonságok, a gerjesztés és a peremfeltételek megadása;
- A FEM szimuláció futtatása;
- Az eredmények kiértékelése:
- Vezető átlaghőmérséklete [math]50~\text{Hz}[/math] és [math]500~\text{Hz}[/math] esetében;
- A vezető keresztmetszetében (pl. [math]X = -20,2~\text{mm}~\dots~20,2~\text{mm}[/math]) a hőáramsűrűség kirajzoltatása.
A táblázatban található méretek jelentését az alábbi ábrák mutatják. A táblázatban a 2. oszlop jelöli a változat számát. A kapott feladat teljesen azonos a Feladat 4 esetében kapott feladattal.
Szoftverek használatának bemutatása
A Feladat 4-nél, az 1. ábrán látható elrendezésből a középső ([math]L_2[/math]) vezető szimulációján keresztül ismertetem az önálló feladat megoldásának menetét. A feladathoz készült videók segítségével elsajátítható a feladat beállítása, az anyagtulajdonságok, a peremfeltételek és a gerjesztés megadása. Majd a megoldást követően a térváltozók megjelenítése és a feladathoz kapcsolódó számítandó mennyiségek meghatározása.
| Szoftver | FEMM | Agros2D | Maxwell 2D & AEDT Thermal (3D) |
Maxwell 2D & Steady-State Thermal (2D) |
|---|---|---|---|---|
| Veszteség [[math]\text{W}[/math]] | 18,68 | 18,72 | 18,88 | 18,88 |
| Hőmérséklet [[math]°\text{C}[/math]] | 41,82 | 41,86 | 42,03 | 42,09 |
| Szoftver | FEMM | Agros2D | Maxwell 2D & AEDT Thermal (3D) |
Maxwell 2D & Steady-State Thermal (2D) |
|---|---|---|---|---|
| Veszteség [[math]\text{W}[/math]] | 50,40 | 50,47 | 51,39 | 51,39 |
| Hőmérséklet [[math]°\text{C}[/math]] | 75,47 | 75,55 | 76,53 | 76,68 |
|
|
|
| FEMM - A hőmérsékleteloszlás és a hőáramsűrűség vektorok 50 Hz esetében. | Agros2D - A hőmérsékleteloszlás és a hőáramsűrűség vektorok 50 Hz esetében. |
|
|
|
| AEDT Mechanical Thermal - A hőmérsékleteloszlás és a hőáramsűrűség vektorok 50 Hz esetében. | Workbench Steady-State Thermal - A hőmérsékleteloszlás és a hőáramsűrűség vektorok 50 Hz esetében. |
|
|
| Ábra 1. - A hőáramsűrűség a vezeték keresztmetszetében. |
Az Ábra 1-en látható görbéknél a uniform annyit jelent, hogy a villamos veszteséget egyenletes eloszlásunak vettem a termikus szimulációban. A két eset, ahol ez nem szerepel, ott pedig a tényleges veszteségeloszlással számoltam. Ez a különbség ennél a példánál nem okoz számottevő eltérést a hőmérsékleteloszlásban, azonban ez általánosságban nem igaz.
Videók a szoftverek használatához
A hővezetés differenciálegyenlete[1][2]
A hővezetés általános differenciálegyenletéhez az energimegmaradás tételét a hővezetés jelenségére alkalmazva jutunk.
Vizsgáljuk egy [math]V[/math] térfogatú hővezető közeg energiaegyensúlyát. A térfogatba foglalt közeg:
[math]m = \int_{V}\rho~\text{d}V[/math],
ahol [math]\rho~\Big[\tfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}\Big][/math] a sűrűség.
A tömeg hőmérsékletének [math]\text{d}T[/math] értékkel való növelése [math]\text{d}\tau[/math] idő alatt [math]\text{d}Q[/math] hőmennyiség közlése mellett történik. A hőmérséklet idő szerinti változása
[math]\text{d}T = \frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}\tau[/math]
egy helyfüggő érték. A felmelegítéshez szükséges hőmennyiség
[math]\text{d}Q = \text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V[/math],
ahol [math]c~\Big[\tfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\Big][/math] az anyag helytől függő fajhője.
A közölt hőmennyiség származhat a vizsgált térrészen belül elhelyezkedő hőforrásból ([math]\text{d}Q_1[/math]), vagy érkezhet a vizsgált tartományt határoló felületen keresztül hővezetéssel ([math]\text{d}Q_2[/math]). A két hőmennyiség összege a felmelegítésre fordított hőmennyiséggel egyenlő:
[math]\text{d}Q = \text{d}Q_1 + \text{d}Q_2[/math].
Hőforrásként jelentkezhet a közegben például az elektromos áram hőhatása. A hőforráseloszlás [math]\biggl(q_V~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^3}\Big]\biggr)[/math] ismeretében a vizsgált [math]V[/math] térrészben [math]\text{d}\tau[/math] idő alatt keletkező hőmennyiség:
[math]\text{d}Q_1 = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V[/math].
A [math]V[/math] térrészt határoló [math]S[/math] felületen át vezetéssel a térrészbe belépő és az onnan szintén vezetéssel kilépő hőmennyiség eredője, ugyancsak [math]\text{d}\tau[/math] idő alatt:
[math]\text{d}Q_2 = -\text{d}\tau\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S}[/math],
ahol [math]\vec{q}~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^2}\Big][/math] a hőáramsűrűség vektora. Az [math]S[/math] felület normálisát pozitívnak tekintjük, ha a vizsgált térrészből kifelé mutat. A negatív előjel azért szükséges, mert a [math]\text{d}Q_2[/math] hőmennyiséget akkor tekintjük pozitívnak, ha az a vizsgált térrészben lévő tömeg hőmérsékletét növeli. Azonban a felület normálisának iránya miatt (kifelé mutat) a térrészbe belépő hőmennyiség negatív értéként adódik.
A hőmérsékletek azonosságát kifejező egyenletbe helyettesítve:
[math]\text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V -\text{d}\tau\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S}[/math].
Ez az összefüggés azt mutatja, hogy az [math]S[/math] felület által határolt [math]V[/math] térfogatban lévő közeg belső energiájának a vizsgált [math]\text{d}\tau[/math] idő alatt történő megváltozása az [math]S[/math] felületen keresztül vezetéssel belépő ls kilépő hőmennyiségek eredőjéből, valamint a [math]V[/math] térfogaton belül elhelyezkedő hőforrás által szolgáltatott hőmennyiségből adódik.
A Gauss-Osztrogradszkij-tétel értelmében a jobb oldal második tagja átalakítható:
[math]\int_{S} \vec{q}~\text{d}\vec{S} = \int_{V} \nabla\cdot\vec{q}~\text{d}V[/math],
amit visszahelyettesítve és átrendezve a következő egyenletre vezet:
[math]\text{d}\tau\int_{V} c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau}~\text{d}V = \text{d}\tau\int_{V} q_V~\text{d}V -\text{d}\tau\int_{V} \nabla\cdot\vec{q}~\text{d}V \rightarrow \text{d}\tau\int_{V} \big(c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} - q_V + \nabla\cdot\vec{q}\big)~\text{d}V = 0[/math].
Figyelembe véve azt, hogy az integrál zérus értéke az integrandusz zérus voltát jelenti, tehát
[math]c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} - q_V + \nabla\cdot\vec{q} = 0[/math].
Egy szilárd testben, amelyben a hő kizárólag vezetés útján terjed, a [math]\vec{q}[/math] hőáramsűrűség valamely helyen a hely környezetében uralkodó hőmérsékleteloszlás alapján megállapítható. A legnagyobb hőmérsékletváltozás irányába mutató gradiens vektor és a [math]\vec{q}[/math] hőáramsűrűség vektor iránya megegyezik. Azonban a tapasztalat szerint a hő mindig a csökkenő hőmérséklet irányába áramlik, tehát a a hőmérsékletgradiens vektor és a [math]\vec{q}[/math] hőáramsűrűség vektor értelme ellentétes. A hőáramsűrűség vektor abszolút értéke az egységnyi elmozdulásra jutó hőmérsékletcsökkenéssel , azaz a gradiens vektor abszolút értékével arányos. A kettő közötti arányossági tényező az adott anyag [math]\lambda~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}\cdot\text{K}}\Big][/math] hővezetési tényezője. A leírtak alapján, az úgynevezett Fourier-törvény:
[math]\vec{q} = \lambda\cdot(-\nabla~T) = -\lambda\cdot \nabla~T[/math].
Ezt az összefüggést felhasználva a hővezetés általános differenciálegyenlete:
[math]-\nabla(\lambda\cdot \nabla~T) + c\cdot\rho\cdot\frac{\partial T}{\partial \tau} = q_V[/math].
További egyszerűsítést jelent az esetünkben, hogy stacionárius hőáramlásról van szó, azaz nincs időbeli változás
[math]-\nabla(\lambda\cdot \nabla~T) = q_V[/math].
A feladatmegoldás során ezt a Poisson-egyenletet oldjuk meg, ahol [math]q_V~\Big[\tfrac{\text{W}}{\text{m}^3}\Big][/math] az egységnyi térfogatban keletkező veszteség.
Feladat II. része
A műszaki jelentés elkészítése és leadása a Moodle rendszerben PDF formátumban.
A műszaki jelentés a következő linken elérhető: Word; PDF.
