Mágneses kör

Kételektródás elrendezés kapacitásának számítása
A feladat végeselemhálója és a peremek elnevezése.	A feladat megoldása ONELAB (Gmsh + GetDP) segítségével.
Oktató Marcsa Dániel (óraadó) Előadás: - Fogadóóra: egyeztetés alapján	További oktatók: - Fogadóóra: -.

A feladat célja

A feladat geometriája.

A feladat keresztmetszete a méretekkel.

A hallgató megismerje a végeselem-módszerhez kapcsolódó főbb lépéseket, mint a geometria elkészítése vagy importálása, anyagparaméterek, peremfeltételek és gerjesztés megadása, eredmények megjelenítése. Emellett pedig bemutasson a hallgatónak egy szabadon hozzáférhető szoftvert, ami nagyon jól használható disszertációk és kutatások során, köszönhetően felhasználóbarát grafikus felületének és tetszőlegesen konfigurálható megoldójának.

A feladat példája Dr. habil Gyimóthy Szabolcs egyetemi docens Elektromágneses terek előadásából származik. Az előadást ajánlom mindenkinek, aki betekintést szeretne kapni a végeselem-módszer elméleti hátterébe, hogy mi az, amit legtöbbször a szoftverek elrejtenek a felhasználó elől.

A példa az előadásban a Matlab PDE Toolbox segítségével kerül megoldásra. Itt a szabadon hozzáférhető ONELAB (Gmsh + GetDP) és a kereskedelmi ANSYS Maxwell szoftverekkel lesz a megoldás bemutatva. Ezen utóbbi szoftver elsősorban az előadásban elhangzott adaptív hálósűrítés miatt.

A ONELAB a neve alapján (Open Numerical Engineering LABoratory) egy nyitott, elsősorban a végeselem-módszeren alapuló numerikus mérnöki laboratórium. Két fő részből áll, a Gmsh a grafikus környezetet, ami az elő- és utófeldolgozó és a hálógeneráló szerepét tölti be. A megoldó pedig a GetDP, ami alkalmas 1D-s, 2D-s síkbeli és forgásszimmetrikus és 3D-s sztatikus, szinuszos és harmonikus, időfüggő és sajátértékfeladatok megoldására a végeselem-módszer segítségével.

Érdekességképpen a GetDP mellett még létezik a GetDDM, ami egy tartomány dekompozíciós módszeren (optimalizált Schwarz-módszer) alapuló megoldó nagyméretű végeselem-módszeren alapuló feladatokhoz. A másik érdekesség a ONELAB mobilapplikáció, ami lehetővé teszi, hogy mobil eszközök (mobiltelefon, tablet) is használjuk a ONELAB-ot.

A feladat megoldásához szükséges ismeretek

• A végeselem-módszer lépései és annak elméleti háttere;
• Elektrosztatikus terek, Laplace-Poisson-egyenlet;
• ONELAB részeinek (Gmsh, GetDP) ismerete.

A vizsgált elrendezés

A feladat részletes definiálása a videóban is megtalálható. Emellett készítettem egy háromdimenziós ábrát az elrendezés könnyebb elképzeléséhez és annak méretekkel ellátott keresztmetszetét. A feladat az eltolási szimmetria (

$$Z$$ -tengely mentén nem változik a feladat, vagyis $$\partial/\partial z = 0$$ ) miatt kétdimenziós feladatnak tekinthető. Emellett a geometria jelölt középvonalára is szimmetrikus az elrendezés, így elég a felét vizsgálni. Ezen túl pedig a fém részek elhagyhatók, mert ott az elektromos térerősség értéke nulla. Így elegendő a két fémrész közötti teret kitöltő $$2.4\cdot\varepsilon_0$$ permittivitású anyagot vizsgálni a megfelelő peremfeltételekkel. Dirichlet-típusú peremfeltételként adjuk meg a külső és belső elektróda potenciálját (külső - $$0~\text{V}$$ ; belső - $$100~\text{V}$$ ). A szimmetriasík Neumann-típusú peremfeltétel lesz, viszont ez előírás nélkül, automatikusan is teljesül jelen feladatnál.

A feladat megoldásához a Laplace-egyenletet oldjuk meg

$$-\,\text{div}\,\varepsilon\,\text{grad}\varphi = 0$$

ahol

$$\varphi$$ az elektromos skalárpotenciál, a következő peremfeltételekkel

$$\Gamma_{\text{D}1} = 0~\text{V}$$ ,

$$\Gamma_{\text{D}2}= 100~\text{V}$$ ,

$$\Gamma_{\text{N}}= \frac{\partial \varphi}{\partial n} = 0$$ (homogén Neumann-peremfeltétel).

A szimulációval kapott eredmények

A háló adaptív finomítása a lokális hiba alapján (ANSYS Maxwell). [Kattints a képre az animáció megtekintéséhez.]

A globális hiba változása az adaptív lépések függvényében (ANSYS Maxwell).

Az előbb megadott parciális differenciálegyenlet és peremfeltételekkel előálló feladat megoldásával a következő táblázatban összefoglalt eredmények születtek a kapacitás értékére. A Matlab PDE Toolbox megoldása az előadásból (Gyimóthy Szabolcstól) származik. Gyakorlatilag az összes szoftver azonos megoldásra vezetett. Ilyen szempontból sokkal érdekesebb a végeselemek száma. Az ANSYS Maxwell és 2D Extarctor esetében jelentősen kevesebb a végeselemek száma, mint a többi esetben. Ennek oka az adaptív hálósűrítés, amit a két Ansys szoftver alkalmaz az elektrosztatika példák esetében. Ennek köszönhetően ott lesz sűrűbb a felbontás, ahol az szükséges. Az adaptív hálósűrítésre mutat példát a jobb oldali ábra. Alatta pedig a feladat teljes tartományára számított (globális) hiba változása látható.

A vizsgált elrendezés kapacitása.

	Matlab PDE Toolbox	ONELAB	Maxwell 2D	2D Extractor	FEMM	Agros2D
Végeselemek száma	2944	2598	740	258	7885	2432
Kapacitás [ $$\text{pF/m}$$ ]	173.51	173.78	173.33	173.29	173.70	173.64

Mindegyik esetben lineáris háromszög elemekkel lett felbontva a vizsgált tartomány. A lineáris végeselemekből következik, hogy a végeselemen belül a

$$\varphi$$ potenciál értéke lineárisan változik, vagyis az elektromos térerősség ( $$\vec{E}=\text{grad}\varphi$$ ) konstans a végeselemen belül. Ez jól megfigyelhető az alábbi két ábrán. A baloldali ábrán a kapott skalárpotenciálból számított elektromos térerősség euklideszi normája látható. A jobb oldali ábrán pedig ugyanez az eredmény a simítást (smoothing) követően.

• Az elektromos térerősség a vizsgált elrendezésben.
• 

  Lineáris közelítés esetén.

• 

  A simítást követően.

Legvégül egy-egy ábra az elektromos skalárpotenciálról és az elektromos térerősség vektorairól. Az elektromos skalárpotenciál ábráján jól láthatóak a vezető körül kialakuló ekvipotenciális vonalak. A vektorok esetében jól látható a homogén Neumann-peremfeltétel teljesülése a szimmetrisík mentén.

Az elektromos skalárpotenciál értéke az elrendezésben.	Az elektromos térerősség vektorai az elrendezésben.